miniatura| Para a multiplicación de matrices, o número de columnas da primeira matriz debe ser igual ao número de filas da segunda matriz. A matriz de resultados ten o número de filas da primeira e o número de columnas da segunda.
En matemáticas, particularmente en álxebra lineal, a multiplicación de matrices é unha operación binaria que produce unha matriz a partir de dúas matrices. Para a multiplicación de matrices, o número de columnas da primeira matriz debe ser igual ao número de filas da segunda matriz. A matriz resultante, coñecida como produto matricial, ten o número de filas da primeira e o número de columnas da segunda matriz. O produto das matrices e denotase como .
O cálculo de produtos matriciales é unha operación central en todas as aplicacións computacionais da álxebra lineal.
Definicións
Produto de matrices Se é unha matriz e é unha matriz , o produto matricial (indicado sen signos ou puntos de multiplicación) defínese como a matriz tal que para ; e .
É dicir, o elemento } do produto obtense multiplicando termo por termo as entradas da -ésima fila de e a -ésima columna de , e sumando estes produtos. Noutras palabras, } é o produto escalar da -ésima fila de e a -ésima columna de .
Por tanto, o produto defínese se e só se o número de columnas en é igual ao número de filas en , neste caso .
A figura seguinte mostra como calcular os coeficientes e da matriz produto se é unha matriz de tipo , et é unha matriz de tipo .
left
Exemplos
.
En xeral, o produto des matrices non é conmutativa, Isto é, non é igual a , como mostra o seguinte exemplo: , mentres que,
Produto escalar O produto escalar de dous vectores e de igual lonxitude é igual a un elemento único (sería unha matriz ) resultante de multiplicar estes vectores como un vector fila por un vector columna, así: (ou ).
O produto escalar dos dous vectores e calcúlase como .
Potencia dunha matriz cadrada A potencia dunha matriz sería unha multiplicación repetida, o que pode realizarse cando a matriz é cadrada.
Cando unha matriz cadrada é diagonalizábel esta diagonalización , onde é unha matriz diagonal, pódese usar para calcular eficientemente as potencias dunha matriz:
e isto último é doado de calcular xa que só implica as potencias dunha matriz diagonal. Por exemplo, para a matriz
con valores propios temos a diagonalización: to get:
e agora calculamos:
Aplicacións fundamentais Historicamente, a multiplicación matricial foi introducida para facilitar e aclarar os cálculos en álxebra linear.
Mapas lineares Un mapa linear dun espazo vectorial de dimensión nun espazo vectorial de dimensión mapea un vector columna
sobre o vector columna
O mapa linear está así definido pola matriz
e mapea o vector columna no produto matricial
Rotacións xeométricas Usando un sistema de coordenadas cartesianas nun plano euclidiano, a rotación dun ángulo arredor da orixe é un mapa linear. Máis precisamente,
onde o punto de orixe e a súa imaxe escríbense como vectores columna.
Sistema de ecuacións lineares A forma xeral dun sistema de ecuacións lineares é
Usando a mesma notación anterior, tal sistema é equivalente á ecuación matricial única
Produto escalar, forma bilinear e forma sesquilinear O produto escalar de dous vectores columna é o único elemento do produto matricial
onde é o vector fila obtido mediante a transposición de .
Máis xeralmente, calquera forma bilinear sobre un espazo vectorial de dimensión finita pode expresarse como un produto matricial
e calquera forma sesquilinear pode expresarse como
onde denota a transposta conxugada de (conxugada da transposta, ou equivalentemente transposta da conxugada).
Multiplicación matricial por bloque Se consideramos as matrices e , onde e son matrices que verifican: O número de columnas en e é igual ao número de filas en e O número de columnas en e é igual ao número de filas en e
entón temos a igualdade
Observe a analoxía entre o produto da matriz de bloques e o produto de dúas matrices cadradas de orde 2. por tanto isto non define unha nova forma de produto de matrices. Este é simplemente un método de cálculo de produto matricial común que pode simplificar os cálculos.
Produto de Hadamard
Para dúas matrices do mesmo tipo, temos o "produto Hadamard" ou produto compoñente por compoñente. O produto de Hadamard de dúas matrices e de tipo , denotado , é unha matriz de tipo dada por
Por exemplo:
Este produto é unha submatriz do produto de Kronecker.
Produto de Kronecker
Para dúas matrices arbitrarias e , temos o produto tensor ou produto de Kronecker que se define por
Se é unha matriz de tipo e é unha matriz de tipo daquela é unha matriz de tipo . De novo esta multiplicación non é conmutativa.
Por exemplo .
Se e son as matrices de mapas lineares e , respectivamente, logo representa o produto tensorial dos dous mapas, .
Propiedades comúns Os tres produtos de matrices anteriores, e tamén o produto común de matrices, son asociativos
, distributivos en relación coa suma:
e compatíbeis coa multiplicación por un escalar:
Multiplicación por un escalar
O produto por un escalar dunha matriz dá o resultado .
Se estamos a traballar con matrices nun anel, a multiplicación por un escalar ás veces chámase "multiplicación á esquerda" mentres que "multiplicación á dereita" defínese por: .
Cando o anel é un anel conmutativo, por exemplo, o corpo dos reais ou dos complexos, as dúas multiplicacións son idénticas.
Porén, se o anel non é conmutativo, como o dos quaternións, entón poden ser diferentes. Por exemplo
Outros tipos de produto de matrices Outros tipos de produtos de matrices, a maiores dos xa vistos, inclúen:
Produto cracoviano, definido como Produto interno de Frobenius, o produto escalar das matrices consideradas vectores ou, equivalentemente, a suma das entradas do produto de Hadamard Produto Khatri-Rao e produto Face-splitting Produto exterior, tamén chamado produto diádico ou produto tensor de matrices de dúas columnas, que é
Notas
Véxase tamén
Bibliografía Henry Cohn, Robert Kleinberg, Balázs Szegedy, and Chris Umans. Group-theoretic Algorithms for Matrix Multiplication. . Proceedings of the 46th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, 23–25 outubro 2005, Pittsburgh, PA, IEEE Computer Society, pp. 379–388. Henry Cohn, Chris Umans. A Group-theoretic Approach to Fast Matrix Multiplication. . Proceedings of the 44th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 11–14 outubro 2003, Cambridge, MA, IEEE Computer Society, pp. 438–449.
Knuth, D.E., The Art of Computer Programming Volume 2: Seminumerical Algorithms. Addison-Wesley Professional; 3 edition (novembro 14, 1997). . pp. 501. . Ran Raz. On the complexity of matrix product. In Proceedings of the thirty-fourth annual ACM symposium on Theory of computing. ACM Press, 2002. . Robinson, Sara, Toward an Optimal Algorithm for Matrix Multiplication, SIAM News 38(9), novembro 2005. PDF Strassen, Volker, Gaussian Elimination is not Optimal, Numer. Math. 13, p. 354–356, 1969.
Outros artigos Matriz (matemáticas). Suma de matrices. Produto tensorial. Produto de Kronecker. Ligazóns externas Multiplicateur de matrices
Categoría:Álxebra lineal