En matemáticas, o inverso aditivo dun elemento , denotado , é o elemento que cando se engade a , dá a identidade aditiva, 0. Nos casos máis coñecidos, este é o número 0, mais tamén pode referirse a un elemento cero máis xeneralizado.
En matemáticas elementais, o inverso aditivo é frecuentemente referido como o número oposto. O concepto está moi relacionado coa resta e é importante para resolver ecuacións alxébricas. Non todos os conxuntos onde se define a suma teñen un inverso aditivo, como os números naturais.
Exemplos comúns Cando se traballa con números enteiros, números racionais, números reais e números complexos, o inverso aditivo de calquera número pódese atopar multiplicándoo por −1. dereita|miniatura|Estes números complexos, dous dos oito valores de , son mutuamente opostos +Casos sinxelos de inversos aditivos
Relación coa resta O inverso aditivo está intimamente relacionado coa resta, que se pode ver como unha suma usando a inversa:
.
Pola contra, o inverso aditivo pode considerarse como unha resta de cero:
.
Esta conexión levou a que o signo menos se utilizase tanto para magnitudes opostas como para resta xa no século XVII. Aínda que esta notación é estándar hoxe en día, naquel momento atopouse con oposición, xa que algúns matemáticos consideraron que podería ser pouco clara e levar a erros.
Definición formal Dada unha estrutura alxébrica definida baixo a suma cunha identidade aditiva , un elemento ten unha inversa aditiva se e só se , , e .
Normalmente, a adición só se usa para referirse a unha operación conmutativa, mais non é necesariamente asociativa. Cando é asociativa, de modo que , os inversos pola esquerda e pola dereita, se os existen, coincidirán, e o inverso aditivo será único. En casos non asociativos, os inversos pola esquerda e pola dereita poden non coincidir, e nestes casos considérase que o inverso non existe.
A definición require pechamento, que o elemento aditivo estea en . É por iso que malia que a suma está definida sobre os números naturais, non é unha inversa aditiva para os seus membros. Os inversos asociados serían os números negativos, polo que os enteiros si teñen un inverso aditivo.
Outros exemplos
Nun espazo vectorial, o inverso aditivo (moitas veces chamada vector oposto de ) ten a mesma magnitude que e mais a dirección oposta. En aritmética modular, o inverso aditivo modular de é o número tal que e sempre existe. Por exemplo, o inverso de 3 módulo 11 é 8, xa que . Nun anel booleano, que ten elementos a suma defínese a miúdo como a diferenza simétrica. Entón , , , e . A nosa identidade aditiva é 0, e ambos os elementos son o seu propio inverso aditivo pois e .
Notas
Véxase tamén
Outros artigos Inverso multiplicativo. Valor absoluto Aritmética modular
Categoría:Aritmética Categoría:Álxebra abstracta