miniatura| Este diagrama de Hasse representa un conxunto parcialmente ordenado con catro elementos: a, b, o elemento máximal a b igual ao join de a e b, e o elemento mínimal a b igual ao meet de a e b. O join/meet dun elemento maximal/minimal e outro elemento é o elemento maximal/minimal e, reciprocamente, o meet/join dun elemento maximal/minimal con outro elemento é o outro elemento. Así, cada parella deste poset ten tanto un meet como un join e o poset pódese clasificar como unha retícula.
En matemáticas, concretamente na teoría da orde, o join dun subconxunto dun conxunto parcialmente ordenado é o supremo (límite superior mínimo) de denotado e do mesmo xeito, o meet de é o infimo (maior límite inferior), denotado En xeral, o join e o meet dun subconxunto dun conxunto parcialmente ordenado poden non existir. Join e meet son duais entre si en relación á inversión de orde.
O join/meet dun subconxunto dun conxunto totalmente ordenado é simplemente o elemento maximal/minimal dese subconxunto, se tal elemento existe.
Definicións Sexa un conxunto cunha orde parcial e sexan Un elemento de chámase o (ou ou ) de e denótase por se se cumpren as dúas condicións seguintes:
(é dicir, é un límite inferior de ). Para calquera se entón (é dicir, é maior ou igual a calquera outro límite inferior de ).
O meet non ten por que existir, xa sexa porque o par non ten límite inferior en absoluto, ou porque ningún dos límites inferiores é maior que todos os demais. No entanto, se hai un meet de entón é único, xa que se ambos os son límites inferiores maiores de entón e así Se non todos os pares de elementos de teñen un meet, entón o meet aínda pode verse como unha operación binaria parcial en
Se o meet existe, denótase Se todos os pares de elementos de teñen un meet, entón o meet é unha operación binaria en e é fácil ver que esta operación cumpre as tres condicións seguintes: Para calquera elementos
(conmutatividade), (asociatividade), e (idempotencia).
Os join defínense dualmente como join de se existe, denótase por Un elemento de é o (ou ou ) de en se se cumpren as dúas condicións seguintes:
(é dicir, é un límite superior de ). Para calquera se entón (é dicir, é menor ou igual a calquera outro límite superior de ).
Exemplos Se algún conxunto de partes está parcialmente ordenado da forma habitual (por ) entón os joins son unións e os joins son interseccións; en símbolos, (onde a semellanza destes símbolos pode usarse como regra mnemotécnica).
Máis xeral sería o seguinte. Subpoña é unha familia de subconxuntos dun conxunto que é un conxunto parcialmente ordenado por Se é pechado baixo unións arbitrarias e interseccións arbitrarias e se pertencen a daquela
Mais se non é pechado baixo unións daquela existe en se e só se existe un único -máis-pequeno tal que
Por exemplo, se entón mentres que se entón non existe porque os conxuntos son límites superiores de en que poderían ser posíbelmente o límite superior mais e
Se entón non existe porque non existe un límite superior de en Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Orde parcial.
Categoría:Teoría da orde