En matemáticas, un sistema de ecuacións lineares ou un sistema de ecuacións polinómicas considérase indeterminado se hai menos ecuacións que incógnitas (a diferenza dun sistema sobredeterminado, onde hai máis ecuacións que incógnitas). A terminoloxía pódese explicar mediante o reconto de restricións. Cada incógnita pode verse como un grao de liberdade dispoñíbel. Cada ecuación introducida no sistema pode verse como unha restrición que restrinxe un grao de liberdade.
Solucións de sistemas indeterminados Un sistema linear indeterminado non ten solución ou ten infinitas solucións.
Por exemplo,
é un sistema indeterminado sen ningunha solución; calquera sistema de ecuacións que non teña solución dise que é inconsistente. Por outra banda, o sistema
é consistente e ten uinfinitas solucións, como por exemplo , e .
Todas estas solucións pódense caracterizar restando a primeira ecuación da segunda, para mostrar que todas as solucións obedecen ; se usamos este valor en calquera das dúas ecuacións vemos que calquera valor de y é posíbel, con .
Máis concretamente, segundo o teorema de Rouché-Capelli, calquera sistema de ecuacións lineares (indeterminado ou non) é inconsistente se o rango da matriz aumentada é maior que o rango da matriz de coeficientes.
Se, pola contra, os rangos destas dúas matrices son iguais, o sistema debe ter polo menos unha solución; xa que nun sistema indeterminado este rango é necesariamente menor que o número de incógnitas, efectivamente hai inifnitas solucións, tendo a solución xeral k parámetros libres onde k é a diferenza entre o número de variábeis e o rango.
Existen algoritmos para decidir se un sistema indeterminado ten solucións, e se ten algunha, para expresar todas as solucións como funcións lineares de k das variábeis (o mesmo k que anteriormente). O máis sinxelo é a eliminación gaussiana. Consulte Sistema de ecuacións lineares para obter máis detalles.
Caso homoxéneo O sistema linear indeterminado homoxéneo (con todos os termos constantes iguais a cero) sempre ten solucións non triviais (alén da solución trivial onde todas as incógnitas son cero).
Hai infinitas solucións e forman un espazo vectorial, cuxa dimensión é a diferenza entre o número de incógnitas e o rango da matriz do sistema.
Sistemas polinómicos indeterminados Dise que un sistema de ecuacións polinómicas que ten menos ecuacións que incógnitas está indeterminado.
Ten infinitas solucións complexas (ou, máis xeralmente, solucións nun corpo alxebricamente pechado) ou é inconsistente.
É inconsistente se e só se é unha combinación linear (con coeficientes polinómicos) das ecuacións (esta é o teorema dos ceros de Holbert ou Nullstellensatz de Hilbert).
Se un sistema indeterminado de t ecuacións en n variábeis (t < n) ten solucións, entón o conxunto de todas as solucións complexas é un conxunto alxébrico de dimensións polo menos .
Notas
Véxase tamén
Outros artigos Sistema de ecuacións lineares
Categoría:Ecuacións Categoría:Álxebra lineal