Na álxebra conmutativa, un elemento b dun anel conmutativo B dise que é enteiro sobre un subanel A de B se b é unha raíz dalgún polinomio mónico sobre A.
Se A, B son corpos, entón as nocións de "enteiro sobre" e de "extensión de enteiros" son precisamente "alxébrico sobre" e "extensións alxébricas" na teoría de corpos (xa que a raíz de calquera polinomio é a raíz dun polinomio mónico).
O caso de maior interese na teoría de números é o dos números complexos enteiros sobre Z (por exemplo, ou ); neste contexto, os elementos enteiros adoitan chamarse enteiros alxébricos. Os números enteiros alxébricos nunha extensión de corpo finita k dos racionais Q forman un subanel de k, chamado anel de enteiros de k, un obxecto central de estudo na teoría alxébrica de números.
Neste artigo, o termo anel entenderase como anel conmutativo cunha identidade multiplicativa.
Definición Sexa un anel e sexa un subanel de Un elemento de dise que é enteiro sobre se para algúns existe en tal que
O conxunto de elementos de que son enteiros sobre chámase peche integral (ou pechamento integral) de en O pechamento integral de calquera subanel en é, en si, un subanel de e contén Se todo elemento de é enteiro sobre entón dicimos que é enteiro sobre , ou equivalentemente é unha extensión enteira de
Exemplos
Peche integral na teoría alxébrica de números Hai moitos exemplos de peche integral que se poden atopar na teoría de números alxébricos xa que é fundamental para definir o anel de enteiros para unha extensión de corpo alxébrico (ou ).
Peche integral de números enteiros en racionais Os enteiros son os únicos elementos de Q que son enteiros sobre Z. Noutras palabras, Z é o peche integral de Z en Q.
Extensións cadráticas Os enteiros de Gauss son os números complexos da forma , e son enteiros sobre Z. é entón o peche integral de Z in . Normalmente denótase este anel .
O peche integral de Z in é o anel
Este exemplo e o anterior son exemplos de enteiros cadráticos. O peche integral dunha extensión cadrática pódese atopar construíndo o polinomio mínimo dun elemento arbitrario e atopar o criterio teórico de números para que o polinomio teña coeficientes enteiros. Esta análise pódese atopar no artigo de extensións cadráticas.
Pechamento integral Sexan A ⊂ B aneis e A''' o peche integral de A en B. (Ver arriba para a definición.)
Os peches integrais compórtanse ben baixo varias construcións. En concreto, para un subconxunto S de A pechado multiplicativamente, a localización S −1 A' é o peche integral de S −1 A en S −1 B'', e é o peche integral de en . un exercicio en Se son subaneis de aneis , entón o peche integral de en é onde son os peches integrais de en .
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Enteiro alxébrico Extensión dun corpo Anel (matemáticas) Anel polinómico
Categoría:Estruturas alxébricas Categoría:Teoría de aneis Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas