En matemáticas, particularmente na análise harmónica e na teoría de grupos topolóxicos, a dualidade de Pontryagin explica as principais propiedades da transformada de Fourier . Sitúa nun marco máis xeral certas observacións sobre funcións definidas en ou nun grupo abeliano finito :

As funcións periódicas con valores complexos suficientemente regulares teñen unha serie de Fourier e pódense deducir a partir desta serie ; As funcións con valores complexos suficientemente regulares teñen unha transformada de Fourier e, do mesmo xeito que as funcións periódicas, pódense deducir a partir desta transformada. ; As funcións con valores complexos nun grupo abeliano finito teñen unha transformada discreta de Fourier definida no grupo dual, que non é canonicamente isomorfa ao grupo orixinal. Ademais, calquera función nun grupo abeliano finito pódese deducir a partir da súa transformada discreta de Fourier (agás homomorfismo).

A teoría, introducida por Lev Pontryagin e combinada coa medida de Haar introducida por John von Neumann, André Weil e outros, depende da teoría do grupo dual dun grupo abeliano localmente compacto .

Medida de Haar Un grupo topolóxico é localmente compacto se e só se o elemento neutro do grupo admite unha veciñanza compacta, o que é equivalente a ter unha base de veciñanzas compactas. Un dos feitos máis chamativos sobre os grupos localmente compactos é que poden estar equipados cunha medida natural, única agás un factor multiplicativo: a medida de Haar, que permite medir o “tamaño“ dun subconxunto suficientemente regular de . Aquí, “suficientemente regular“ significa ser un Boreliano, é dicir, un elemento da tribo xerada polos conxuntos compactos. Máis precisamente, unha medida de Haar pola dereita nun grupo localmente compacto é unha medida definida nos borelianos de , que é invariante por traslacións á dereita, no sentido de que se é un boreliano e un elemento de .

A medida de Haar permítenos definir a noción de integral para unha función medible a valores complexos definida no grupo. En particular, podemos considerar os espazos Lpasociados coa medida de Haar. Máis precisamente :

Varios exemplos de grupos abelianos localmente compactos están dados por :

coa suma como operación de grupo. Os reais estritamente positivos provistos da multiplicación. Este grupo é claramente isomorfo a , sendo este isomorfismo a función exponencial. Calquera grupo abeliano finito, provisto da topoloxía discreta. Polo teorema sobre a estrutura destes grupos, son produtos de grupos cíclicos. O grupo dos enteiros , tamén provisto da topoloxía discreta. O circunferencia unidade de (é dicir, o grupo dos complexos de módulo 1). é isomorfo ao grupo topolóxico cociente . O corpo dos números p-ádicos provisto da suma, coa topoloxía p-ádica habitual.

O grupo dual Se G é un grupo abeliano localmente compacto, un carácter de G é un morfismo de grupos continuo de en . Pódese demostrar que o conxunto dos caracteres de G é el mesmo un grupo abeliano localmente compacto, chamado grupo dual de G, e denotado por Ĝ. O produto en Ĝ é o produto de dous caracteres considerados como funcións con valores complexos, e o inverso dun carácter é o seu conxugado complexo. A topoloxía en Ĝ é a da converxencia uniforme en todo compacto. Non é metrizable en xeral. Porén, se o grupo G é ademais separable, entón a topoloxía definida en Ĝ é metrizable.

Teorema. é canonicamente isomorfo a , é dicir, é canonicamente isomorfo ao dual do seu dual.

Canónico significa que o isomorfismo está dado por unha aplicación «natural» de en . Este termo achega un matiz importante: por exemplo, calquera grupo abeliano finito é isomorfo ao seu dual, pero o isomorfismo non é canónico. O isomorfismo canónico defínese así:

É dicir, cada elemento de identifícase coa súa avaliación polos caracteres do dual.

Exemplos Un carácter do grupo cíclico infinito dos enteiros está determinado polo seu valor en 1, xerador de . En efecto, para todo carácter de tense pois é un morfismo de grupos, e esta fórmula mostra que se define de maneira única un carácter polo seu valor en 1. Así, o dual de é alxebraicamente isomorfo ao circunferencia unidade . A topoloxía de converxencia sobre os compactos é daquela a topoloxía da converxencia simple. Pódese mostrar facilmente que é a topoloxía inducida polo plano complexo.

O grupo dual de é, pois, canonicamente isomorfo a .

Reciprocamente, un carácter de é da forma , con n enteiro. Como é compacto, a topoloxía no grupo dual é a da converxencia uniforme, que neste caso é a topoloxía discreta. Así, o dual de é canonicamente isomorfo a .

O grupo dos reais é isomorfo ao seu dual, sendo os caracteres de da forma , con real. Con estas dualidades, a nova versión da transformada de Fourier presentada a continuación coincide coa transformada de Fourier clásica en .

Transformada de Fourier

O grupo dual dun grupo abeliano localmente compacto serve como espazo base dunha versión máis abstracta da transformada de Fourier. Se pertence a , entón a súa transformada de Fourier é a función definida en Ĝ por:

onde a integral se toma respecto da medida de Haar sobre G. Non é demasiado difícil demostrar que a transformada de Fourier dunha función sobre G é unha función continua acoutada sobre Ĝ. Do mesmo xeito, a transformada de Fourier inversa dunha función sobre Ĝ vén dada por:

onde a integral é relativa á medida de Haar sobre o grupo dual Ĝ.

Categoría:Grupo topolóxico Categoría:Teoremas