En matemáticas e estatística, unha distribución asintótica é unha distribución de probabilidade que representa o límite dunha sucesión de distribucións asociadas a unha sucesión de variables aleatorias. A noción utilízase principalmente na inferencia estatística para aproximar a distribución de estimadores cando o tamaño da mostra é grande.
A idea central consiste en estudar o comportamento dunha estatística cando o tamaño da mostra tende ao infinito. Neste contexto, a distribución límite obtida denomínase distribución asintótica.
Definición Considérese unha sucesión de variables aleatorias para . Dise que existe unha distribución asintótica se a distribución de probabilidade de converge cara a unha distribución límite cando tende a infinito; véxase converxencia en distribución.
Un caso particular ocorre cando a sucesión de variables aleatorias converge a un valor constante. Nese caso a distribución límite é unha distribución dexenerada.
Con máis frecuencia considérase unha versión normalizada das variables aleatorias. Se existen dúas sucesións de constantes e tales que
converxe en distribución cara a unha distribución non dexenerada, entón dise que ten esa distribución como distribución asintótica.
Se é a función de distribución da distribución asintótica, entón para valores grandes de obtéñense as aproximacións
É importante destacar que a converxencia refírese á sucesión de distribucións de probabilidade, non necesariamente aos valores individuais das variables aleatorias.
Teorema central do límite
Un dos exemplos máis importantes dunha distribución asintótica é a distribución normal. O teorema central do límite establece que, baixo certas condicións, a distribución dunha media muestral aproxima unha distribución normal cando o tamaño da mostra aumenta.
Teorema central do límite Se é unha sucesión de variables aleatorias independentes e identicamente distribuídas con
e
e se representa a media das primeiras observacións, entón
converxe en distribución cara á distribución normal cando .
Este resultado proporciona unha aproximación asintótica á distribución da media muestral.
Normalidade asintótica Un concepto relacionado é o de normalidade asintótica. Unha sucesión de estatísticas dise asintoticamente normal se existen constantes e tales que
converxe en distribución á distribución normal estándar .
As cantidades e denomínanse respectivamente media e desviación estándar asintóticas.
Este concepto permite aplicar métodos baseados na normalidade mesmo cando a distribución exacta da estatística é descoñecida.
Aplicacións As distribucións asintóticas teñen un papel central na teoría asintótica da estatística. Entre as súas aplicacións destacan:
construción de intervalos de confianza desenvolvemento de contrastes de hipótese estudo do comportamento de estimadores para grandes mostras aproximacións analíticas de distribucións complexas
Notas
Véxase tamén Outros artigos Análise asintótica Teoría asintótica (estatística) Teorema central do límite Teorema de de Moivre–Laplace Método delta
Categoría:Distribucións de probabilidade Categoría:Estatística matemática Categoría:Teoría asintótica