miniatura|dereita|350px|A diferenza relativa entre (ln x!) e (x ln x - x) tende a cero ao crecer x. En matemáticas, a fórmula de Stirling é unha aproximación para factoriais grandes. Leva o nome en honor de James Stirling.
A aproximación exprésase como
para n suficientemente grande, onde ln é o logaritmo natural.
Escrito coa notación O grande sería .
E a forma máis utilizada é
Dedución En liñas xerais, a versión máis sinxela da fórmula de Stirling pódese obter rapidamente aproximando a suma
cunha integral:
A fórmula completa, xunto coas estimacións precisas do seu erro, pódese deducir do seguinte xeito. En lugar de aproximar , considérase o seu logaritmo natural, xa que esta é unha función que varía lentamente:
O lado dereito desta ecuación menos
é a aproximación pola regra do trapecio da integral
e o erro nesta aproximación vén dado pola fórmula de Euler–Maclaurin:
onde é un número de Bernoulli, e é o termo residual na fórmula de Euler-Maclaurin.
Tomando límites para atopalo
Denotamos este límite como . Como o resto na fórmula de Euler–Maclaurin satisfai
onde se usa a notación O grande, combinando as ecuacións anteriores obtemos a fórmula de aproximación na súa forma logarítmica:
Tomando a exponencial en ambos os dous lados e escollendo calquera número enteiro positivo , obtense unha fórmula que inclúe unha cantidade descoñecida . Para , a fórmula é
A cantidade pódese atopar tomando o límite en ambos os dous lados xa que tende ao infinito e usando o Produto de Wallis, o que mostra que . Polo tanto, obtense a fórmula de Stirling:
Dedución alternativa Unha fórmula alternativa para usando a función gamma é
(como se pode ver pola integración repetida por partes). Reescribindo e mudadno as variábeis , obtense
Aplicando o método de Laplace tense
co que volvemos a obter a fórmula de Stirling:
Serie de Stirling e límite do erro Como vimos na introdución a fórmula máis usada é
que provén de
que á súa vez provén máis exactamente da fórmula
onde o último termo (a exponencial) tende a 1 cando n tende a infinito.
A lista dos denominadores : 12, 360, 1260, 1680, 1188, 360360, 156, 122400, 244188, 125400, 5796, 1506960, 300, ...
Desenvolvendo este último termo tamén se pode reescribir a fórmula como (chamada serie de Striling
Que ten límites superior e inferior
G. Nemes deu unha fórmula explícita para os coeficientes desta serie. Na OEIS aparecen outros termos e .
Podemos ver un exemplo calculado destes límites:
Fórmula de Stirling para a función Gamma Para todos os números enteiros positivos,
onde denota a función Gamma.
Porén, a función gamma, a diferenza do factorial, está definida de xeito máis amplo para todos os números complexos que non sexan os enteiros non positivos; así, a fórmula de Stirling aínda se pode aplicar. Se , temos
A integración por partes repetida dá
onde é o -ésimo número de Bernoulli (nótese que o límite da suma cando non é converxente , polo que esta fórmula é só unha expansión asintótica). A fórmula é válida para o suficientemente grande en valor absoluto, cando , onde é positivo, cun termo de erro de . Así pódese escribir a aproximación correspondente:
onde a expansión é idéntica á da serie de Stirling anterior para , excepto que substitúese por .
Outra aplicación desta expansión asintótica é para argumentos complexos con constante . Vexa por exemplo a fórmula de Stirling aplicada en da función theta de Riemann–Siegel na liña recta . Usos A fórmula resulta útil en diversas áreas como a mecánica estatística, onde aparecen ecuacións que conteñen factoriais do número de partículas. Posto que na materia ordinaria os sistemas macroscópicos típicos teñen en torno a partículas a fórmula de Stirling resulta moi aproximada. Ademais a fórmula é diferenciable, o cal permite o cálculo moi aproximado de máximos e mínimos en expresións con factoriais.
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Aproximación de Lanczos Aproximación de Spouge Factorial Ligazóns externas
Peter Luschny, Approximation formulas for the factorial function n!
Categoría:Matemáticas