miniatura|O teorema do valor medio En matemáticas, o teorema do valor medio (tamén coñecido como Teorema de Lagrange) afirma que dada unha función continua f definida nun intervalo fechado [a,b] e diferenciábel en (a,b), existe polo menos un punto c en (a,b) tal que :
Xeometricamente, isto significa que a tanxente á gráfica de f nun punto de abscisa c é paralela á secante que pasa polos puntos de abscisas a e b
O teorema do valor medio tamén ten unha interpretación en termos físicos: se un obxecto está en movemento e se a súa velocidade media é , entón durante un intervalo [a,b], hai un instante (punto c) no que a velocidade é .
O teorema do valor medio é un dos máis importantes do cálculo diferencial, aínda que se usa non tanto para resolver problemas senón para demostrar outros teoremas. É unha xeneralización do teorema de Rolle.
Teorema do valor medio do cálculo integral
thumb|dereita|Xeometricamente: interpretando f(c) como a altura dun rectángulo e b–a como o ancho, este rectángulo ten a mesma área que a rexión embaixo da curva de a a b Sexa f : [a, b] → R unha función continua. Entón existe c en (a, b) tal que
Isto dedúcese tamén do teorema fundamental do cálculo, xunto co teorema do valor medio para as derivadas. Dado que o valor medio de f en [a, b] defínese como
podemos interpretar a conclusión como f alcanza o seu valor medio nalgún c en (a, b).
En xeral, se f : [a, b] → R é continua e g é unha función integrábel que non muda de signo en [ a, b], entón existe c en (a, b) tal que
Notas
Véxase tamén Bibliografía
Outros artigos Teorema da velocidade media Teorema de Rolle Ligazóns externas
PlanetMath: Mean-Value Theorem
"Mean Value Theorem: Intuition behind the Mean Value Theorem" en Khan Academy.
Categoría:Análise matemática valor medio