200px|miniatura|Unha sección áurea é unha división en dous dun segmento segundo proporcións dadas polo número áureo. A lonxitude total a+b é ao segmento máis longo a como a é ao segmento máis curto b.
O número áureo ou número de ouro (tamén chamado número prateado, razón extrema e media, razón áurea, razón dourada, media áurea, proporción áurea e divina proporción) representado pola letra grega φ (fi) (en honor ao escultor grego Fidias), é o número irracional:Este número é irracional, aínda que é alxébrico e tamén construíble mediante regra e compás, e existen numerosas racionais con maior ou menor erro. No ano 2008 obtivéronse cen mil millóns de cifras decimais correctas. (Ver: http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html) Ao igual que ocorre coa raíz cadrada de dous, é posible construír un segmento idealmente exacto con regra non graduada dun so borde e lonxitude indefinida e un compás de abertura variable. Isto significa que ningún debuxo pode ser tan fino como para representar o concreto e real valor puntual do número áureo. Calquera obxecto construído polo ser humano ou formado naturalmente, aínda que se tivera a intención manifesta de lograr una representación de ese número, levaría consigo un erro inevitable. Un segmento de recta tan pequeno como o diámetro aparente da partícula atómica máis pequena ten tantos puntos xeométricos como toda a recta. Con todo, a construción xeométrica é idealmente exacta e por este motivo estimouse durante un tempo considerable á xeometría como superior á aritmética. A diferencia está en que o valor aritmético está dado como un infinito potencial e o valor xeométrico como un infinito actual, xerando un segmento de recta construíble
Trátase dun número alxébrico que posúe moitas propiedades interesantes e que foi descuberto na antigüidade, non como “unidade” senón como relación ou proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción encóntrase tanto nalgunhas figuras xeométricas como na natureza en elementos tales como caracois, nervios das follas dalgunhas árbores, o grosor das ramas etc.
Así mesmo, atribúeselle un carácter estético especial aos obxectos que seguen a razón áurea, así como unha importancia mística. Ao largo da historia, atribuíuselle importancia en diversas obras de arquitectura e outras artes, aínda que algúns destes casos foron obxectables para as matemáticas e a arqueoloxía.
Definición Númerosγ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δBinario 1,1001111000110111011... Decimal 1,6180339887498948482... Hexadecimal 1,9E3779B97F4A7C15F39... Fracción continua Alxébrico
Dise que dous números positivos a e b están en razón áurea se e só se:
Para obter o valor de a partir desta razón considere o seguinte:
Que a lonxitude do segmento máis curto b sexa 1 e que a de a sexa x.
Para que estes segmentos cumpran coa razón áurea deben cumprir que:
Multiplicando ambos lados por x e reordenando:
Mediante a fórmula xeral das ecuacións de segundo grao obtense que as dúas solucións da ecuación son
A solución positiva é o valor do número áureo.
Historia do número áureo
Idade antiga Existen varios textos que suxiren que o número áureo atópase como proporción nalgunhas estelas Babilonias e Asirias de arredor de 2000 a. C. Porén, non existe documentación histórica que indique que o número áureo foi usado conscientemente polos arquitectos ou artistas na construción das estelas. Tamén é importante notar que cando se mide unha estrutura complicada é fácil obter resultados curiosos se se teñen moitas medidas dispoñibles. Ademais para que se poida considerar que o número áureo está presente, as medidas deben tomarse desde puntos relativamente obvios do obxecto e este non é o caso dos elaborados teoremas que defenden a presenza do número áureo. Por todas estas razóns Mario Livio e Alvaro Valarezo conclúen que é moi improbable que os babilonios descubriran o número áureo.
O primeiro en facer un estudo formal sobre o número áureo foi Euclides (c. -300--265), quen o definiu dea seguinte maneira:
Euclides demostrou tamén que este número non pode ser descrito como a razón de dous números enteiros, é dicir é irracional.
Platón (c. -428-347) viviu antes de que Euclides estudara o número áureo, porén, ás veces atribúeselle o desenvolvemento de teoremas relacionados co número áureo debido que o historiador grego Proclo escribiu:
Aquí a miúdo interpretouse a palabra sección (τομή) como a sección áurea. Con todo, a partir do século XIX esta interpretación foi motivo de gran controversia e moitos investigadores chegaron á conclusión de que a palabra sección non tivo nada que ver co número áureo. Non obstante, Platón considerou que os números irracionais, descubertos polos pitagóricos, eran de particular importancia e a chave á física do cosmos. Esta opinión tivo unha grande influencia en moitos filósofos e matemáticos posteriores, en particular os neoplatónicos.
A pesar do discutible do seu coñecemento sobre o número áureo, Platón deuse á tarefa de estudar a orixe e a estrutura do cosmos, cousa que intentou usando os cinco sólidos platónicos, construídos e estudados por Teeteto. En particular, combinou a idea de Empédocles sobre a existencia de catro elementos básicos da materia, coa teoría atómica de Demócrito, para Platón cada un dos sólidos correspondía a unha das partículas que conformaban cada un dos elementos. Segundo Platón, a terra estaba asociada ao cubo, o lume ao tetraedro, o aire ao octaedro, a auga ao icosaedro, e finalmente o Universo como un todo, estaba asociado co dodecaedro.
Idade Moderna En 1509 o matemático e teólogo Luca Pacioli publica o seu libro De Divina Proportione (A Proporción Divina), no que expresa cinco razóns polas que considera apropiado considerar divino ao Número áureo: A unicidade; Pacioli compara o valor único do número áureo coa unicidade de Deus. O feito de que estea definido por tres segmentos de recta, Pacioli asóciao coa Trindade. A inconmensurabilidade; para Pacioli a inconmensurabilidade do número áureo, e a inconmensurabilidade de Deus son equivalentes. A Autosimilaridade asociada ao número áureo; Pacioli compáraa coa omnipresencia e invariabilidade de Deus. Segundo Pacioli, dea mesma maneira en que Deus deu ser ao Universo a través da quinta esencia, representada polo dodecaedro; o número áureo deu ser ao dodecaedro.
En 1525, Durero publica Instrución sobre a medida con regra e compás de figuras planas e sólidas onde describe como trazar con regra e compás a espiral baseada na sección áurea, que se coñece como “espiral de Durero”.
O astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), desenvolveu un modelo Platónico do Sistema Solar utilizando os sólidos platónicos, e referiuse ao número áureo en termos grandiosos:
O primeiro uso coñecido do adxectivo áureo, dourado, ou de ouro, para referirse a este número faino o matemático alemán Martin Ohm, irmán do célebre físico Georg Simon Ohm, na segunda edición de 1835 do seu libro Die Reine Elementar Matematik (As Matemáticas Puras Elementais). Ohm escribe nunha nota ao pé:
A pesar de que a forma de escribir suxire que o termo xa era de uso común para a data, o feito de que non o incluíra na súa primeira edición suxire que o termo puido gañar popularidade arredor de 1830.
Nos textos de matemáticas que trataban o tema, o símbolo habitual para representar o número áureo foi τ do grego τομή que significa corte ou sección. Porén, a moderna denominación Φ ó φ, efectuouna en 1900 o matemático Mark Barr na honra de Fidias xa que esta era a primeira letra do seu nome escrito en grego (Φειδίας). Esta honra concédeselle a Fidias polo máximo valor estético atribuído ás súas esculturas, propiedade que xa por entón se lle atribuía tamén ao número áureo. Mark Barr e Schooling foron responsables dos apéndices matemáticos do libro The Curves of Live, de Sir Theodore Cook.
O número áureo nas matemáticas Fórmula da relación áurea Para conseguir un número cuxa relación con outro sexa φ pódese utilizar esta fórmula:
Sendo sempre a>b, a>0 e b>0
Se por exemplo, queremos un valor áureo para 2 sendo este o segmento menor, ou sexa b, resulta que:
Ordenando:
Coa fórmula cadrática:
Propiedades e representacións Ángulo de ouro
Propiedades alxébricas é o único número real positivo tal que:
A expresión anterior é fácil de comprobar:
posúe ademais as seguintes propiedades:
As potencias do número áureo poden ser escritas en función dunha suma de potencias de graos inferiores do mesmo número, establecendo unha verdadeira sucesión recorrente de potencias.
O caso máis simple é: , calquera sexa n un número enteiro. Este caso é unha sucesión recorrente de orde k = 2, pois recórrese a dúas potencias anteriores.
Unha ecuación recorrente de orde k ten a forma , onde é calquera número real ou complexo e k é un número natural menor ou igual a n e maior ou igual a 1. No caso anterior é , e .
Pero podemos «saltear» a potencia inmediatamente anterior e escribir:
. Aquí , , , e .
Se anulamos ás dúas potencias inmediatamente anteriores, tamén hai unha fórmula recorrente de orde 6:
En xeral:
.
En resumo: calquera potencia do número áureo pode ser considerada como o elemento dunha sucesión recorrente de ordes 2, 4, 6, 8, ..., 2k; onde k é un número natural. Na fórmula recorrente é posible que aparezan potencias negativas de , feito totalmente correcto. Ademais, unha potencia negativa de corresponde a unha potencia positiva do seu inverso, a sección áurea.
Este curioso conxunto de propiedades e o feito de que os coeficientes significativos sexan os do binomio, pareceran indicar que entre o número áureo e o número e hai un parentesco.
O número áureo é a unidade fundamental «ε» do corpo e a sección áurea é a súa inversa, «». Nesta extensión o «emblemático» número irracional cumpre as seguintes igualdades:
.
Representación mediante fraccións continuas A expresión mediante fraccións continuas é:
Esta repetición é a única onde sumar é multiplicar e restar é dividir. É tamén a máis simple de todas as fraccións continuas e a que ten a converxencia máis lenta. Esa propiedade fai que ademais o número áureo sexa un número mal aproximable mediante racionais que de feito alcanza o peor grao de aproximabilidade mediante racionais posible.Bad approximable numbers in WolframMathWorld
Representación mediante ecuacións alxébricas
O número áureo e a sección áurea son solucións das seguintes ecuacións:
Representación trigonométrica
Estas corresponden ao feito de que o diámetro dun pentágono regular (distancia entre dous vértices non consecutivos) é φ veces a lonxitude do seu lado, e doutras relacións similares no pentagrama.
En 1994 deriváronse as seguintes ecuacións relacionando ao número áureo co número da Bestia:
O que pode combinarse na expresión:
Porén, hai que notar que estas ecuacións dependen de que se elixan os graos sexaxesimais como unidade angular, xa que as ecuacións non se manteñen para unidades diferentes.
Representación mediante raíces aniñadas
Esta fórmula como caso particular dunha identidade xeral publicada por Nathan Altshiller-Court, da Universidade de Oklahoma, na revista American Mathematical Monthly, 1917.
O teorema xeral di:
A expresión (onde ), é igual á maior das raíces da ecuación x² - x - a = 0; ou sexa,
Relación coa serie de Fibonacci
Se se denota o enésimo número de Fibonacci como Fn, e ao seguinte número de Fibonacci, como Fn + 1, descubrimos que a medida que n aumenta, esta razón oscila sendo alternativamente menor e maior que a razón áurea. Podemos tamén notar que a fracción continua que describe ao número áureo produce sempre números de Fibonacci a medida que aumenta o número duns na fracción. Por exemplo: ; ; e , o que se acerca considerablemente ao número áureo. Entón tense que:
Esta propiedade foi descuberta polo astrónomo alemán Johannes Kepler, nambergantes, pasaron máis de cen anos antes de que fora demostrada polo matemático inglés Robert Simson.