miniatura|300px|Sistema de coordenadas cartesiano ortogonal no espazo. As rectas x, y e z son os eixos coordenados.
En xeometría, un sistema de coordenadas é un sistema que utiliza un ou máis números ou coordenadas, para determinar de forma única a posición dun punto ou doutro elemento xeométrico. É un conxunto de valores que permiten definir univocamente a posición de calquera punto nun espazo n-dimensional respecto a un punto de referencia chamado orixe de coordenadas. O uso dun sistema de coordenadas permite que determinados problemas en xeometría se traduzan en problemas numéricos e á inversa. Esta é a base da xeometría analítica.
O conxunto de eixos, puntos ou planos que conflúen na orixe, e a partir dos cales se calculan as coordenadas, constitúen o que se denomina sistema de referencia.
Historia miniatura|Retrato de Bonaventura Cavalieri, un dos inventores das coordenadas polares. Os primeiros sistemas de coordenadas como tales áchanse a mediados do século XVI. O matemático italiano Rafael Bombelli (1526 - 1572) vai utilizar a recta numérica para representar os diferentes números coa lonxitude nesta recta; de aquí vaise estender á idea dos números reais, e a do primeiro sistema de coordenadas na recta.
Posteriormente, René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francés, vai introducir o novo concepto de coordenadas no plano e, ao relacionar os puntos do plano e as parellas de números reais, vai obter os que actualmente se nomean sistemas de coordenadas cartesianas.
Hai diversas narracións da introdución das coordenadas polares como parte dun sistema formal de coordenadas. Grégoire de Saint-Vincent e Bonaventura Cavalieri van introducir independentemente os conceptos a mediados do século XVII. Saint-Vincent vaino escribir en privado en 1625 e vai publicar o seu traballo en 1647, mentres que Cavalieri publica o seu en 1635, cunha versión corrixida que publica en 1653. Cavali1eri vai ser o primeiro en facer uso das coordenadas polares para resolver un problema referente á área contida dentro dunha espiral de Arquimedes. Máis tarde, Blaise Pascal servirase das coordenadas polares para calcular a lonxitude dun arco de paràbola.
Se ben hai exemplos onde se evidencia que os conceptos de ángulo e raio eran coñecidos e se manexaban desde a antigüidade, non é ata finais do século XVII, con posterioridade á invención da xeometría analítica, que se pode falar do concepto formal de sistema de coordenadas polares. A pesar diso, o concepto abstracto de sistema de coordenadas polares débese a Isaac Newton, quen o introduce na súa obra Método das fluxións (escrita en 1671 e publicada en 1736) para resolver problemas relativos a tanxentes e curvas; concretamente no sétimo destes problemas aparecen as coordenadas polares. Así mesmo examina as transformacións entre coordenadas polares (das cales di que son a "Sétima Maneira para as Espirais"), e outros novos sistemas de coordenadas. Tamén se lle atribúe o primeiro uso de coordenadas negativas nunha colección de figuras e gráficos dos polinomios de terceiro grao, no seu libro Enumeratio linearum tertii ordinis (Enumeración das curvas de terceiro grao). En 1691, na revista Acta Eruditorum, Jacob Bernoulli utilizaba un sistema cun punto sobre unha liña, aos que chamou polo e eixo polar respectivamente. As coordenadas especificábanse pola distancia ao polo e o ángulo respecto ao eixo polar. No traballo de Bernoulli áchase o concepto de raio de curvatura das curvas expresadas neste sistema de coordenadas.
O termo actual, coordenadas polares, atribúese ao matemático italiano Gregorio Fontana (1735 - 1803) e xa o utilizaban os escritores italianos do século XVIII. O termo aparece por primeira vez en inglés na tradución de 1816 feita por George Peacock do Traité du calcul différentiel et du calcul intégral (Tratado do cálculo diferencial e do cálculo integral) de Sylvestre François Lacroix. Alexis Clairaut vai ser o primeiro en pensar en coordenadas polares en tres dimensións, e Leonhard Euler o primeiro en desenvolvelas.
En 1827, na obra Der barycentrische Calcül, August Ferdinand Möbius vai introducir o concepto de coordenadas homoxéneas ou coordenadas proxectivas.
O sistema de coordenadas UTM vai ser desenvolvido polo corpo de enxeñeiros do Exército dos Estados Unidos na década de 1940. O sistema baséase nun modelo elipsoidal da Terra. Úsábase o elipsoide de Clarke de 1866 para o territorio dos 48 estatos contiguos. Para o resto do mundo -incluídos os estados de Alasca e Hawai - úsábase o elipsoide Internacional. Actualmente trabállase co elipsoide WGS84 como modelo de base para o sistema de coordenadas UTM.
Sistemas de coordenadas unidimensionais Recta real
O exemplo máis simple dun sistema de coordenadas é a identificación de puntos nunha recta con números reais utilizando a recta real ou recta numérica. Neste sistema, escóllese un punto arbitrario O (a orixe) nunha liña, unha unidade de medida, e un sentido positivo nela (normalmente é o que vai de esquerda a dereita); obviamente o sentido contrario ao positivo (de dereita a esquerda) é o negativo. A coordenada, ou abscisa, dun punto M defínese como a distancia da orixe O ao punto M, con signo positivo ou negativo segundo que o sentido que vai de O a M sexa positivo ou negativo. A cada punto asóciaselle unha coordenada única, e cada número é a coordenada dun único punto. center|Unha recta numérica Cando o punto se move sobre unha curva, en lugar dunha recta, é posíbel escoller tamén sobre a curva unha orixe, un sentido positivo de percorrido e unha unidade de medida, mais en tal caso falarase de abscisa curvilínea. A distancia con signo do punto á orixe é a coordenada curvilínea do punto.
Sistemas de coordenadas bidimensionais Sistema de coordenadas cartesianas
miniatura|esquerda|300px|Dous sistemas de coordenadas cartesianas: non ortogonal (esquerda) e ortogonal (dereita). Un dos sistemas de coordenadas bidimensional está constituído por un par de rectas incidentes, indicados xeralmente por X e Y, chamados eixos de coordenadas. O punto de intersección das rectas é a orixe de coordenadas. Sobre cada eixo se fixa un sentido positivo de percorrido e unha unidade de medida que, en xeral, é igual para ambos eixos, mais por esixencias particulares os eixos poden ter distintas unidades de medida. A posición dun punto M calquera do plano ven indicada por un par de números, xeralmente indicados polas letras x e y, chamadas coordenadas do punto M. O número x é a distancia con signo desde o eixo Y ao punto M medida paralelamente ao eixo X e coa unidade de medida elixida para este último eixo (o signo será positivo ou negativo se o sentido desde o eixo Y ao punto M é o mesmo ou o contrario respectivamente, ao establecido no eixo X). Analogamente, o número y e a medida con signo da distancia do eixo X ao punto M medida paralelamente ao eixo Y e coa unidade de medida elixida para este último; con signo positivo se o sentido positivo de Y coincide co sentido que vai desde o eixo X a M, e negativo en caso contrario. A parella de coordenadas que caracterizan ao punto M se indican da forma (x,y). miniatura|Exemplos de coordenadas dalgúns puntos nun sistema de coordenadas cartesianas ortogonal.
Cando os eixos X e Y son perpendiculares, o sistema de coordenadas cartesiano dise ortogonal, se ademais a medida elixida para cada eixo é a mesma dise ortonormal. Noutro caso, é dicir cando os eixos non son perpendiculares, fálase dun sistema de coordenadas cartesianas non ortogonal.
O nome cartesiano é na honra do matemático francés René Descartes quen o recupera na idade moderna, despois de que fora xa introducido na idade media polo tamén francés Nicole Oresme.
Nun sistema de coordenadas cartesianas o eixo horizontal X recibe o nome de eixo de abscisas e o vertical Y eixo de ordenadas. Consecuentemente, a primeira coordenada x dun punto é a súa abscisa, e a segunda y a súa ordenada. Oresme usaba respectivamente os nomes de lonxitude e latitude, que hoxe en día resérvanse para as coordenadas xeográficas.
Sistema de coordenadas polares
miniatura|Coordenadas polares (r,φ) dun punto P. O sistema de coordenadas polares é especialmente útil cando a relación entre dous puntos se expresa mellor en termos de ángulos e distancias. As coordenadas polares defínense por un punto fixo O chamado polo (equivalente á orixe nas coordenadas cartesianas), e por unha recta que pasa por O, nomeado eixo polar (equivalente ao eixo X das coordenadas cartesianas). A primeira coordenada é a distancia r entre o polo e o punto P considerado, mentres que a segunda é o ángulo orientado positivo (antihorario) φ que vai do eixo polar á recta que pasa por O e o punto P. A primeira, r, é a coordenada radial, e a segunda, φ, é a coordenada radial (tamén coñecida por ángulo polar ou ángulo acimutal miniatura|esquerda|Paso de coordenadas polares a cartesianas e viceversa. Para pasar das coordenadas polares (r,φ) ás cartesianas (x,y) úsanse as seguintes fórmulas, que se obteñen sen máis que despexar na definición do seno e do coseno de φ (véxase a imaxe):
e para pasar das cartesianas ás polares:
onde a primeira fórmula non é máis que o teorema de Pitágoras, e a segunda resulta das definicións das funcións trigonométricas inversas.
Sistema de coordenadas elípticas miniatura|200px|Sistema de coordenadas elípticas.
As coordenadas elípticas son un sistema bidimensional de coordenadas curvilíneas ortogonais, onde as liñas coordenadas son elipses e hipérboles cos mesmos focos.
Sistema de coordenadas parabólicas
As coordenadas parabólicas son un sistema bidimensional de coordenadas ortogonais no que as liñas coordenadas son parábolas cun foco común.
Sistemas de coordenadas tridimensionais Sistema de coordenadas cartesianas
250px|miniatura|Sistema ortogonal de coordenadas cartesianas de tres dimensións. O sistema cartesiano tridimensional consta de tres rectas chamadas eixos de coordenadas que pasan por un punto común que é a orixe de coordenadas, denotada comunmente por O. Para cada un dos eixos, nomeados xeralmente por X, Y e Z, se escolle unha unidade de medida e un sentido positivo de percorrido. As coordenadas dun punto calquera do espazo indícanse coas letras x, y e z. A primeira coordenada x indica a distancia con signo do punto ao plano que contén aos eixos Y e Z, medida paralelamente ao eixo X e usando a unidade de medida escollida para este eixo. Analogamente defínense as outras dúas coordenadas y e z. As tres coordenadas que caracterizan un punto do espazo indícanse da forma (x,y,z). Cando os tres eixos son perpendiculares dise que o sistema cartesiano é ortogonal ou rectangular; se ademais a unidade de medida é a mesma para os tres eixos, o sistema cartesiano é ortonormal.
Sistema de coordenadas cilíndricas
miniatura|200px|Coordenadas cilíndricas. O sistema de coordenadas cilíndricas é a expansión natural do sistema de coordenadas polares plano ás tres dimensións. Este sistema é especialmente útil en problemas de simetría axial. Está constituído por dúas rectas (normalemte perpendiculares), X e Y, chamadas eixos, cun punto en común, O, que é o polo ou a orixe.
As coordenadas dun punto xenérico P denótanse por (ρ, φ e z), onde: ρ é a distancia do punto Q á orixe O, sendo Q a proxección ortogonal do punto P sobre o plano XY. φ é o ángulo que forma o semieixo positivo de X co vector , de orixe O e extremo Q, medido en sentido positivo (antihorario). z é a distancia de P a Q.
Para pasar das coordenadas cilíndricas ás cartesianas úsanse as fórmulas: .
e para pasar das cartesianas ás cilíndricas: .
As fórmulas anteriores obtéñense facilmente a partir do teorema de Pitágoras e das definicións das razóns trigonométricas e as súas inversas.
Sistema de coordenadas esféricas
miniatura|200px|Coordenadas esféricas.