A párhuzamos szelők tétele az elemi geometria egyik alapvető tétele. Azt mondja ki, hogy ha adott két egymást metsző egyenes és az egyiken két szakasz, és e szakaszok végpontjain át olyan párhuzamosokat húzunk, amelyek a másik egyenest metszik, akkor a második egyenesen keletkezett szakaszok hosszának aránya egyenlő az első egyenesen a nekik megfelelő szakaszok hosszának az arányával. Hasznos eszköz például ismeretlen szakaszhosszak kiszámításához. Hagyományosan Thalész ókori görög matematikusnak tulajdonítják.
A szintetikus geometriában korlátozásokkal átvihető affin transzlációsíkokra, Desargues-síkokon pedig korlátozás nélkül teljesül.
A tétel pontos megfogalmazása Legyen e és f két egymást metsző egyenes; metszéspontjukat jelölje A! Legyen továbbá B és D két A-tól különböző pont e-n, és legyen C és E két A-tól különböző pont f-en úgy, hogy a BC és DE egyenesek párhuzamosak! Ekkor
(illetve, ha ez igaz, akkor és csak akkor is igaz)
Felfedezője A párhuzamos szelők tételét Thalész fedezte fel az i.e. 6. században, és ezért a tételt egyes nyelveken (olasz, francia, spanyol, orosz, román) kis Thalész-tétel vagy Thalész első tétele néven említik. (A magyar szóhasználatban Thalész-tételként emlegetett állítás ezeken a nyelveken a nagy Thalész-tétel vagy Thalész második tétele.)
A tétel bizonyításával együtt szerepel Euklidész Elemek című könyvében.
Bizonyítás
Ha az arány irracionális, a tétel akkor is igaz és bizonyítható.
Egy bizonyítás 250px|thumb|jobbra|Háromszögterületes bizonyítás
, mert a háromszögek magassága (m) megegyezik, csak az alapjuk különbözik. Hasonlóan . Viszont , mert alapjuk (|DE|) és magasságuk is megegyezik, tehát , ebből következően , amit bizonyítani kellett.
A tétel megfordítása A tétel megfordítása is igaz, vagyis ha két egyenes egy szög száraiból olyan szakaszokat metsz ki, amelyeknek aránya mindkét száron egyenlő, akkor a két egyenes párhuzamos.
Bizonyítás A bizonyítás indirekt: tegyük fel, hogy , de . Húzzuk tehát be azt a h egyenest a B ponton keresztül, ami párhuzamos DE-vel! Legyen h és f metszéspontja C'''! A párhuzamosság miatt felírhatjuk a párhuzamos szelők tételét: . A feltétellel összevetve , tehát , vagyis , így viszont , tehát a tétel megfordítása igaz. Kapcsolódó geometriai fogalmak thumb|hochkant=1.3|Ábra a jelölésekhez A párhuzamos szelők tétele szorosan kapcsolódik a hasonlósághoz. Az ábra jelöléseivel a és háromszögek, illetve a és háromszögek hasonlóak egymáshoz. Ez azt jelenti, hogy a megfelelő oldalak aránya megegyezik - ami közvetlenül adódik a párhuzamos szelők tételéből. Lásd még: Háromszögek hasonlósága.
Egy további kapcsolódó fogalom a középpontos nyújtás, ami egy speciális geometriai leképezés. Például az első ábrán egy középpontú, vagy arányú középpontos nyújtás látható, illetve a második ábrán egy középpontú, vagy arányú középpontos nyújtást mutat.
Egy hasonló közeli kapcsolat áll fenn a vektorszámítással. Az
számítási szabály az vektorokra és egy valós skalárra csak a párhuzamos szelők tételének egy alternatív kifejezésmódja, mivel akkor . ahol az vektor hossza (euklideszi normája).
thumb|középre|600px|Párhuzamos szelők tétele és vektorok Alkalmazások Felmérések A párhuzamos szelők tételének egy fontos alkalmazása hozzáférhetetlen távolságok felmérése. Ehhez szükség van egy konfigurációra, ami tartalmazza a közvetlenül nem mérhető szakaszt és még három szakaszt, a párhuzamos szelők tételének valamelyik konfigurációja szerint. Egy egyszerű mérőeszköz a Jákob-pálca, ami a párhuzamos szelők tételén alapul. A távolságok becslésére használt ujjszabály is ugyanezen alapul. A Kheopsz-piramis magassága thumb|300px|Mérőpálca és piramis thumb|200px|Párhuzamos szelők tétele
Thalész ókori görög filozófus és matematikus egy bot és az árnyékok aránya alapján mérte meg az egyiptomi Kheopsz-piramis magasságát.
A következő példa a párhuzamos szelők tételén alapul, habár nem biztos, hogy Thalész eszerint számolt: Előzetesen megmérjük a piramis alapját és árnyékának hosszát. Napos területen a piramis mellé függőlegesen letűzünk egy botot, és megmérjük ennek magasságát és árnyékának hosszát. A következő értékeket kapjuk:
A bot magassága: A bot árnyékának hossza: A piramis közvetlenül lemérhető árnyékának hossza: A piramis oldalhossza: A piramis összesített árnyékának hossza: A piramis magassága:
A párhuzamos szelők tételével a következő egyenlet állítható fel:
A háromszög oldalának hossza a fél oldalhosszból és a piramis árnyékhosszából áll. D-re rendezve:
.
Folyó szélessége thumb|hochkant=1.3|A folyó szélessége Nehezen hozzáférhető területeken is alkalmazható a párhuzamos szelők tétele, például folyók szélességének méréséhez. Megjelölik a mérendő szakasz két végét, legyenek ezek A és B. Ezután megszerkesztenek egy C pontot úgy, hogy CAB derékszögű háromszög legyen. Az AC-n választunk egy E pontot, melyet összekötünk a túloldali B ponttal. A BE szakaszt az E-n túl meghosszabbítjuk. Ekkor a C pontban merőlegest állítunk az AC-re, ami az EB meghosszabbítását egy D pontban metszi. Mivel AE, CE és CD a folyó ugyanazon partján fekszik, megmérhetők, és a párhuzamos szelők tétele megadja a keresett folyószélességet:
Szakasz felosztása thumb|hochkant=1.1|Egy szakasz felosztása 5:3 arányban A párhuzamos szelők tételének alkalmazásával a szakaszok tetszőleges arányban feloszthatók.
Az egyik irányban felvesszük a felosztandó szakaszt. A másik irányban felmérjük a megfelelő távolságokat. Az így kapott szakasz végét összekötjük a felosztandó szakasz végpontjával, majd az osztópontokon át párhuzamosokat húzunk a végpontokat összekötő szakasszal. A párhuzamos szelők tétele miatt a felosztandó szakaszt a párhuzamosok a kívánt arányokban osztják fel. További alkalmazások és általánosítások Középpontpos nyújtások (homotéciák) és grafikák skálázása Száloptikában a kamera nagyításának számítása, amihez még tekintetbe veszik a lencseegyenletet (hibátlan, vékony lencsére) A szintetikus geometriában általánosítható az affin transzlációsíkokra. Tizedestörtek szerkesztése Szorzás körzővel és vonalzóval Osztás körzővel és vonalzóval Hatványozás körzővel és vonalzóval
Jegyzetek
Források Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, . Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, , S. 191–208. Hans Schupp: Elementargeometrie. Schöningh, Paderborn 1977, , S. 124 ff. (Uni-Taschenbücher 669 Mathematik). Siegfried Krauter, Christine Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie. Springer Spektrum, 2-te Auflage 2013, , S. 147–157 Franz Lemmermeyer: Mathematik à la Carte. Springer Spektrum, 2015, , S. 118–122 Manfred Leppig (Hrsg.): Lernstufen Mathematik. 1. Auflage, 4. Druck. Girardet, Essen 1981, , S. 157–170. Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Eine aufgabenorientierte Einführung.'' Vieweg+Teubner Verlag 2009, , S. 36–41 Fordítás
Kapcsolódó szócikkek Hasonlóság Thalész Elemek
Kategória:Euklideszi geometria