A nyújtott exponenciális függvény az exponenciális függvény kiegészítése egy járulékos paraméterrel, ahol a kiterjesztő paraméter, a β:
. A legtöbb alkalmazásban a t argumentumnak csak 0 és +∞ között van értelme. β=1 esetén a standard exponenciális függvényt kapjuk. 0 és 1 közötti β értékeknél, a φ(t) - log(t) görbe megnyúlik, kiterjed, innen kapta a nevét. Az összenyomott exponenciális függvény (β>1 esetén) kisebb gyakorlati jelentőséggel bír, egy nevezetes kivétel a β=2, mely a normál eloszlás.
Matematikában a nyújtott exponenciális függvény, a komplementer kumulatív Weibull-eloszlásként ismert.
Továbbmenve, a nyújtott exponenciális függvény, a szimmetrikus alfa-stabil Lévy-eloszlás karakterisztikus függvénye.
Fizikában a nyújtott exponenciális függvényt gyakran használják rendezetlen rendszerek relaxációjának fenomenológiai leírására.
Ezt először Rudolf Kohlrausch vezette be 1854-ben, amikor leírta a kondenzátor kisülését.. és ezért ezt Kohlrausch-függvénynek is hívják. 1970-ben G. Williams és D.C. Watts a nyújtott exponenciális függvény Fourier-transzformációját alkalmazta a polimerek dielektromos elemzésénél.. Ebben a kontextusban a nyújtott exponenciális, vagy annak Fourier transzformáltját Kohlrausch–Williams–Watts-függvénynek (KWW) is hívják.
Eloszlás függvény A fizika néhány területén a nyújtott exponenciális függvény alkalmazása gyakran indokolt, mint például az egyszerű exponenciális bomlás lineáris szuperpozíciója.
Ez igényli a relaxációs idők nem triviális eloszlását, ρ(u), melynek definíciója: . az eloszlás:
A p a következő kifejezésből számítható: :. For a more recent and general discussion, see .
A következő két ábra hasonló eredményeket mutat, mind lineáris, mind logaritmikus megjelenítésben. A görbék a Dirac-delta-függvényhez konvergálnak, melynek u=1-nél van maximum, ahogy a β tart az 1-hez, megfelelve az egyszerű, vagy standard exponenciális függvénynek.
jobbra|bélyegkép|250px |A nyújtott exponenciális függvény lineáris megjelenítése balra|bélyegkép|250px | A nyújtott exponenciális függvény logaritmikus megjelenítése
Átlagos relaxációs idő A φ(t) görbe alatti területe értelmezhető az átlagos (középérték) relaxációs időnek:
ahol a gamma-függvény. Az exponenciális bomláshoz Magasabb momentumok A nyújtott exponenciális függvény magasabb momentumai :I.S. Gradshteyn (И.С. Градштейн), I.M. Ryzhik (И.М. Рыжик); Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger, editors. Table of Integrals, Series, and Products, fourth edition. Academic Press, 1980. Integral 3.478. . Ez szorosan kapcsolódik az egyszerű exponenciális relaxációs idők momentumaihoz: . Az egyszerű exponenciális relaxációs idők első logaritmikus momentum:
ahol Eu az Euler állandó, azaz az Euler-féle szám Fourier Transzformáció A spektroszkópia eredményeinek, vagy a rugalmatlan szórás leírásához, a nyújtott exponenciális függvény szinusz - vagy koszinusz Fourier transzformációjára van szükség.
Ezt numerikus integrálással vagy sorozatokkal lehet kiszámítani. .Dishon et al. 1985.; Wuttke http://arxiv.org/abs/0911.4796v1 A sorozatok alkalmazásának speciális esete a Fox-Wright függvény.
Gyakorlati okokból, a Fourier transzformációt a Havriliak-Negami függvénnyel lehet közelíteni.
Történelem és további alkalmazások A nyújtott exponenciális függvényt Rudolf Kohlrausch német fizikus vezette be 1854-ben, amikor leírást készített a kondenzátor kisüléséről, dielektrikumnak üveget használt.
A következő dokumentált felhasználás Friedrich Kohlrauschtól származik, aki a torziós relaxációt írta le. Friedrich Kohlrausch, Rudolf Kohlrausch fia volt.
A. Werner 1907-ben a komplex lumineszcens lebomlás leírására használta a nyújtott exponenciális függvényt.
1949-ben Theodor Förster a fluoreszkálás bomlási törvényénél alkalmazta.
A fizikában a Naprendszer kis sugárzó testei távolodási sebességének leírására is alkalmazzák a nyújtott exponenciális függvényt, valamint diffúzió-súlyozott MRI jeleknél, az agyban.
Jegyzetek
Források
Kategória:Függvények Kategória:Analízis Kategória:Alkalmazott matematika