Az Euler-féle szám, más néven e szám irracionális. A jelen cikk erre az állításra ad három bizonyítást.
Joseph Fourier (1768–1830) francia matematikus bizonyítása az ellentmondáson alapul. Az e felírható numerikus sorok segítségével:
Ez az e szám Taylor-sorba fejtése az exponenciális függvény szerint, ahol a kitevő =1. Feltételezzük, hogy e egy racionális szám, a/b formában. Ekkor létezik egy pozitív a és b, és így a e = a/b, ahol b > 1. Definiáljunk egy számot:
Ha e racionális, akkor x egész szám, helyettesítsük be e = a/b –t ebbe a definícióba:
Az első kifejezés egész, és a szumma minden tagja is egész szám, mert n ≤ b. Ezért x maga is egész szám. Most bebizonyítjuk, hogy . Először azt bizonyítjuk be, hogy x szigorúan pozitív: Behelyettesítjük a fenti sorba e kifejezést az x definíciójába:
mivel minden tényezőre igaz, hogy n ≤ b, mind kiesik, csak egy marad , mely pozitív. Most bebizonyítjuk, hogy x < 1. Minden tényezőnél, ahol kapjuk:
Ez az egyenlőtlenség minden n ≥ b + 2.-re igaz. A szumma indexét kicserélve k = n – b, és a végtelen mértani sor képletét használva, kapjuk:
Mivel nincs 0 és 1 között egész szám, kaptunk egy ellentmondást, és így az e-nek irracionálisnak kell lennie. Q.E.D.
Egy másik bizonyítás szerint:MacDivitt, A. R. G.; Yanagisawa, Yukio (1987), "An elementary proof that e is irrational", The Mathematical Gazette (London: Mathematical Association) 71 (457): 217 Az előzőekből kiindulva:
Ez az egyenlőtlenség ekvivalens azzal, hogy b.x < 1. Ez viszont lehetetlen, mert b' és x természetes számok.
A harmadik bizonyítás egy némileg általánosabb lemmán alapszik.
Az integrál additív halmazfüggvény, vagyis diszjunkt szakaszokon integrálva és ezeket összegezve az egész szakaszon vett integrált kapjuk: I, J diszjunkt. A parciális integrálás módszere: f és g folytonosan differenciálható. Ha g és h valós polinomok, és tetszőleges valós a számra
akkor g és h is azonosan nulla. minden valós c számra. Az α valós szám erősen approximálható, ha minden ε>0-hoz van u és v egész szám, és egy |δ| < ε szám, hogy Minden ilyen α valós szám irracionális. Fordítva ez az összefüggés nem teljesül, mivel az ilyen számok megszámlálhatóan sokan vannak.
Lemma A tétel bizonyításához szükség van erre a lemmára:
Lemma: Minden erősen approximálható valós szám irracionális.Bizonyítás:Tegyük fel indirekt, hogy α racionális, vagyis vannak p és q egészek, hogy :
Ekkor -hoz is vannak δ, u, v számok. Behelyettesítve és átrendezve
A pu-vq szám egész kell, hogy legyen, de nem egész szám. Ellentmondás.
A tétel bizonyítása A lemma miatt elég azt belátni, hogy az e szám erősen approximálható.
Az e számot a sorral közelítjük. Ha a sor n-edik tagját An jelöli, akkor
Legyen most az ε pozitív szám tetszőleges! Ekkor választhatunk hozzá egy n egész számot, hogy , átrendezve . Továbbá teljesüljön u = n! és v = Ann!. Ekkor
Ebből azonnal látszik, hogy e'' erősen approximálható, hiszen .SzegedFreud-Gyarmati: Számelmélet
Források
Kategória:Számelmélet Kategória:Matematikai tételek