A polilogaritmus-függvény a komplex függvények egyike, nevezik Jonquière-féle függvénynek is. Jelölése: Lis(z).
Definíciói
Hatványsorral
Definíciója végtelen hatványsor alakjával:
A fenti definíció minden komplex s-re érvényes, valamint minden z argumentumra, ahol |z| < 1; kiterjeszthető |z| ≥ 1 értékekre is az analitikus folytatás módszerével. Csak s speciális értékeinél redukálódik a polilogaritmus elemi függvénnyé, mint például logaritmusfüggvénnyé.
Ha s=1, akkor a természetes logaritmus esete áll fenn, Li1(z) = −ln(1−z), s=2 esete a dilogaritmus, más néven Spence-függvény, az s=3 esetét trilogaritmusnak hívják.
Integrálással
A polilogaritmus elnevezés onnan származik, hogy úgy is lehet definiálni, mint többszörösen végrehajtott integrálokat:
így a dilogaritmus a logaritmus integrálja, és így tovább.
Ha s egy nempozitív egész szám, akkor a polilogaritmus racionális függvény.
Alkalmazások
A polilogaritmus előfordul zárt formában a Fermi-Dirac-eloszlás (lásd: Fermi–Dirac-statisztikánál) és a Bose-Einstein-eloszlásnál is, melyeket úgy is hívnak, mint Fermi–Dirac-integrál vagy Bose–Einstein-integrál.
A polilogaritmus nem összetévesztendő a polilogaritmikus függvényekkel vagy az Euler-féle logaritmikus integrállal.
Speciális esetek
jobbra|bélyegkép|300px |polilogaritmusok
Speciális esetekben a polilogaritmus kifejezhető más függvényekkel. Ha s egész, akkor a z•∂/∂z ismételt alkalmazásával a Li1(z)-re a következő összefüggések kaphatók:
A polilogaritmus redukálódik a z polinomjainak arányára. Az általános eset a következő véges összeggel fejezhető ki:
ahol S(n,k) másodfajú Stirling-szám. Hasonló formula kapható negatív egészek esetében:http://www.cs.kent.ac.uk/pubs/1992/110/
és
ahol Euler-féle szám.
+ Polilogaritus-függvények a komplex síkon1000x140px|none1000x140px|none1000x140px|none1000x140px|none1000x140px|none1000x140px|none1000x140px|none
Irodalom Lewin, L: Dilogarithms ans Associated Functions MacDonald London, 1958.
Kapcsolódó szócikkek http://mathworld.wolfram.com/Polylogarithm.html https://launchpad.net/anant NIST Digital Library of Mathematical Functions: Dilogarithm Spence-függvény Logaritmus
Jegyzetek
Kategória:Komplex analízis Kategória:Analitikus függvények