A redukciós formulák bizonyos alakú határozatlan integrálokra adnak rekurziót. Ezek a rekurziók gyakran jól alkalmazhatók bizonyos határozott integrálok kiszámítására.
Legfontosabb redukciós formulák Trigonometrikus redukciós formulák
A két formula levezetése analóg, mi csak az elsőt mutatjuk be. Parciálisan integrálva: , ahol . Visszaírva és, rendezve: , ami már maga a redukciós formula.
Hogy ezt belássuk, a számlálót írjuk át:
Parciálisan integrálva: , amit rendezve már a kívánt formulához jutunk.
Parciálisan integrálva kapjuk, hogy
Alkalmazások Trigonometrikus helyettesítéseknél Irracionális függvények határozott integráljának a kiszámításakor gyakran alkalmazhatunk olyan trigonometrikus helyettesítést, ahol az integrandusz a helyettesítés után sin, vagy cos polinomja, és a határok többszörösei. Ekkor hasznos a következő két formula, amit a redukciós formulák alkalmazásával könnyen megkaphatunk:
Racionális törtfüggvények integrálásakor Racionális törtfüggvény primitív függvényének a meghatározásakor a függvényt parciális törtekre bontjuk. A kapott összeadandók primitív függvényét zárt alakban megkaptuk, kivéve az alakú tagokét. Hogy ezen tagok határozott integrálját is számolhassuk, redukciós formulát alkalmazunk:
Gamma-függvény Felhasználva, hogy , az idevágó redukciós formulából adódik, hogy . A gamma-függvény szokásos definíciójával egybevetve:
Ugyanazt a parciális integrálást elvégezve, amit a vonatkozó redukciós formulánál elvégeztük kapjuk, hogy .
Források Banach, S.: Differenciál- és integrálszámítás, Tankönyvkiadó, 1967
Kategória:Analízis