A geometriában a Schläfli-szimbólum sokszögeket, poliédereket és magasabb dimenziós politópokat, parkettázásokat, térkitöltéseket ír le. A svájci Ludwig Schläfli után nevezték el.
Alakja , ahol, ha egész, akkor egy megfelelő oldalszámú sokszöget jelöl. Ha tört, akkor egy csillagsokszöget jellemez, ahol a számláló a csúcsok számát, a nevező pedig azt adja meg, hogy körbemenve hányadik pontokat kell összekötni.
A Schläfli-szimbólumban szereplő számok sorrendjének megfordítása az eredetileg leírt objektum duálisát írja le.
Definíció A Schläfli-szimbólum egy rekurzív leírás, ami a sokszögből indul ki. A szimbólumban q azt adja meg, hogy a p sokszögből hány találkozik egy csúcsban. Ha egy négy dimenziós politópban minden él körül r szimbólumú poliéder találkozik, akkor Schläfli-szimbóluma , és így tovább. A poliédereknek lehetnek csillagsokszög lapjaik is.
A szabályos politóp lapjának Schläfli-szimbóluma . Ugyanennek a poliédernek a csúcsalakzata .
A poliédereknek lehetnek csillagsokszög lapjaik is.
A szimbólum reprezentálhat véges sokszöget, poliédert, politópot, vagy euklideszi vagy hiperbolikus szabályos parkettát vagy térkitöltést a defektusától függően. Ha a defektus pozitív, akkor lapok felhajtogathatók az eggyel magasabb dimenziós térbe, így politópot alkothatnak. A nulla defektus azt jelzi, hogy az illeszkedő lapok kitöltik az adott dimenziójú euklideszi teret. A negatív defektus nem lehetséges az euklideszi térben, de a hiperbolikus térben már igen.
A csúcsalakzatot többnyire véges politópnak fogják fel, de néha érdemesebb parkettázásnak vagy térkitöltésnek tekinteni.
A szabályos politópok duálisainak Schläfli-szimbóluma megegyezik az eredeti Schläfli-szimbólum megfordításával. Az önduális politópok Schläfli-szimbóluma így szimmetrikus.
Szimmetriacsoportok A Schläfli-szimbólum szorosan kapcsolódik az azonos indexű tükörszimmetrikus csoportokhoz, amelyeket Coxeter-csoportoknak is neveznek, és szögletes zárójelbe tesznek. Így a [3,3] Coxeter-csoport a tetraéder, a [3,4] az oktaéder, és [3,5] az ikozaéder tükörszimmetriái által generált csoport jele.
Példák Sokszögek és csillagsokszögek
egy -szög.
a pentagramma 30px.
és rendre a 30px és 30px heptagrammák jele.
Mindezek az alakzatok önduálisak. Szabályos testek A szabályos testek Schläfli-szimbólumai: az önduális tetraéder.
az oktaéder, a megfordított az oktaéder duálisa, a kocka.
az ikozaéder, a megfordított az ikozaéder duálisa, a dodekaéder.
Platóni parketták
a háromszögparketta, az inverz ennek a duálisa, a hatszögparketta.
az önduális négyzetparketta.
Kepler-Poinsot-testek A Kepler-Poinsot-testek Schläfli-szimbólumai: a nagy ikozaédert, az inverziója a duálisát, a nagy csillagdodekaédert írja le.
a nagy dodekaédert, az inverzió a duálisát, a kis csillagdodekaédert jellemzi. Négy dimenziós szabályos politópok
a pentakhoron,
a tesszerakt (négy dimenziós hiperkocka), duálisa pedig a hexadekakhor néven is ismert szabályos 16-cellát jellemzi.
az önduális szabályos 24-cella, másként az ikozitetrakhor.
a 120-cella, inverziója a szabályos 600-cella. Magasabb dimenzióban Magasabb dimenzióban a politóp Schläfli-szimbóluma {p1, p2, ..., pn − 1}, ha lapjainak Schläfli-szimbóluma {p1,p2, ..., pn − 2}, és csúcsalakzatának Schläfli-szimbóluma {p2,p3, ..., pn − 1}.
Egy szabályos politóp lapjának csúcsalakzata és csúcsalakzatának lapja ugyanaz: {p2,p3, ..., pn − 2}.
Négynél magasabb dimenzióban dimenziónként három szabályos politóp van: {3,3,3,...,3} a szimplex; {3,3, ..., 3,4} a keresztpolitóp; és {4,3,3,...,3} a hiperkocka. Konkáv szabályos politópok nincsenek ezekben a dimenziókban. Uniform prizmák Az uniform prizmák alacsonyabb dimenziós szabályos politópok Descartes-szorzatai: p-gonális prizma: a p.4.4 csúcsalakzatú politóp definiálható, mint { } × {p}, ahol { } a szakasz. {p,q}-éderes prizma: a { } × {p,q} szorzat. p-q duoprizma: {p} × {q}.
Általánosításai Coxeter a kváziszabályos poliéderekre is kiterjesztette a Schläfli-szimbólumot a csúcsok dimenziójának jelölésével. Ez lett a még általánosabb Coxeter-Dynkin diagram kiindulópontja. Norman Johnson egyszerűsítette a jelölést azzal, hogy a csúcsszimbólumokra bevezette az r prfixet. A t jelölés a legáltalánosabb, és közvetlenül megfelel a Coxeter-Dynkin diagram gyűrűinek. Mindegyik szimbólumnak van alternációja, ahol a Coxeter-Dynkin diagramon a gyűrűket lyukak helyettesítik a h prefixszel. Ez a változtatás csak bizonyos feltételekkel vihető végbe.
FormaKiterjesztett Schläfli-szimbólumokSzimmetriaCoxeter-diagramPélda: {4,3}Szabályos{p,q}t0{p,q}[p,q]vagy[(p,q,2)]40pxKockaCsonkított t{p,q}t0,1{p,q} 40pxCsonkított kockaBicsonkítás(Csonkított duális) 2t{p,q}t1,2{p,q}40pxCsonkított oktaéderRektifikált(Kváziszabályos) r{p,q}t1{p,q} 40pxKuboktaéderBirektifikáció(Szabályos duális)2r{p,q}t2{p,q}40pxOktaéderCantellated(A rektifikált rektifikáltja) rr{p,q}t0,2{p,q} 40pxRombikuboktaéderÉlcsonkított(A csonkított rektifikáltja) tr{p,q}t0,1,2{p,q} 40pxCsonkított kuboktaéderAlternációkAlternált szabályos(p páros) h{p,q}ht0{p,q}[1+,p,q] 40pxDemikocka(Tetraéder)Snub szabályos(q páros) s{p,q}ht0,1{p,q}[p+,q] Snub duális szabály(p páros) s{q,p}ht1,2{p,q}[p,q+]40pxSnub oktaéder(Ikozaéder)Alternált duális szabályos(q páros) h{q,p}ht2{p,q}[p,q,1+] Alternált rektifkált(p és q is páros) hr{p,q}ht1{p,q}[p,1+,q] Alternált rektifikált rektifikált(p és q is páros) hrr{p,q}ht0,2{p,q}[(p,q,2+)] Quarter(p és q is páros) q{p,q}ht0ht2{p,q}[1+,p,q,1+] Snub rektifikáltSnub kváziszabályos sr{p,q}ht0,1,2{p,q}[p,q]+ 40pxSnub kuboktaéder(Snub kocka)
Négy dimenzióban + Linear familiesFormaKiterjesztett Schläfli-szimbólumCoxeter-diagramPélda, {4,3,3}Szabályos {p,q,r}t0{p,q,r}40pxTesszeraktCsonkított t{p,q,r}t0,1{p,q,r}40pxCsonkított tesszeraktRektifikált r{p,q,r}t1{p,q,r}40pxRektifikált tesszerakt = Bicsonkított 2t{p,q,r}t1,2{p,q,r}40pxBicsonkított tesszeraktBirektifikált(rektifikált duális)2r{p,q,r} = r{r,q,p}t2{p,q,r}40pxRektifikált 16-cella = Tricsonkított(Csonkított duális) 3t{p,q,r} = t{r,q,p}t2,3{p,q,r}40pxBicsonkított tesszeraktTrirektifikált(Dual) 3r{p,q,r} = {r,q,p}t3{p,q,r} = {r,q,p}40px16-cellaCantellált rr{p,q,r}t0,2{p,q,r}40pxCantellált tesszerakt = Élcsonkított tr{p,q,r}t0,1,2{p,q,r}40pxÉlcsonkított tesszerakt = Runcinált(kiterjesztett) e{p,q,r}t0,3{p,q,r}40pxRuncinált tesszeraktRuncicsonkított t0,1,3{p,q,r}40pxRuncicsonkított tesszeraktOmnicsonkított t0,1,2,3{p,q,r}40pxOmnicsonkított tesszeraktAlternációkFélp páros h{p,q,r}ht0{p,q,r}40px16-cellaNegyedp és r páros q{p,q,r}ht0ht3{p,q,r} Snubq páros s{p,q,r}ht0,1{p,q,r}40pxSnub 24-cellaSnub rectifikáltr páros sr{p,q,r}ht0,1,2{p,q,r}40pxSnub 24-cella = Alternált omnicsonkítás ht0,1,2,3{p,q,r}40pxNagy duoantiprizma
+ Bifurkáló családokFormaKiterjesztett Schläfli-szimbólumCoxeter-diagramPéldákKváziszabályos {p,q1,1}t0{p,q1,1}40px16-cellaCsonkított t{p,q1,1}t0,1{p,q1,1}40pxCsonkított 16-cellaRektifikált r{p,q1,1}t1{p,q1,1}40px24-cellaCantellált rr{p,q1,1}t0,2,3{p,q1,1}40pxCantellált 16-cellaÉlcsonkított tr{p,q1,1}t0,1,2,3{p,q1,1}40pxÉlcsonkított 16-cellaSnub rectifikált sr{p,q1,1}ht0,1,2,3{p,q1,1}40pxSnub 24-cellaKváziszabályos {r,/q\,p} t0{r,/q\,p} Csonkított t{r,/q\,p} t0,1{r,/q\,p} Rektifikált r{r,/q\,p} t1{r,/q\,p} Cantellált rr{r,/q\,p} t0,2,3{r,/q\,p} Élcsonkított tr{r,/q\,p} t0,1,2,3{r,/q\,p} snub rektifikált sr{p,/q,\r} ht0,1,2,3{p,/q\,r}
Jegyzetek
Források Coxeter: Regular Polytopes (pp. 14, 69, 149) Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter , edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591] (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
Fordítás
Kategória:Euklideszi geometria