Az Erdős–Anning-tétel kimondja, hogy ha egy síkon található végtelen sok pont között páronként egész szám távolság van, akkor azok a pontok egy egyenes mentén fekszenek (kollineárisak). A tételt Erdős Pálról és Norman H. Anningról nevezték el, aki a bizonyítást 1945-ben publikálta..
Bizonyítás Az Erdős–Anning-tétel bizonyításához hasznos, ha szigorúbban fogalmazzuk meg, konkrét határt megállapítva az egész távolságú pontok számára nézve, a pontok közötti maximális távolság függvényében. Specifikusabban, ha három vagy több, nem kollineáris pont egymástól az egész szám távolságra fekszik, akkor legfeljebb egész távolságú pont adható hozzá a halmazhoz.
Hogy ezt beláthassuk, tekintsük az A, B és C nem kollineáris elemeit az S egész távolságú ponthalmaznak, melyek távolsága legfeljebb ! Legyen továbbá , és a három pont közötti távolságok. Legyen X az S halmaz bármely más pontja. A háromszög-egyenlőtlenségből következik, hogy nemnegatív egész szám, értéke legfeljebb . Minden egyes egész értékre ezen a területen a egyenlet megoldásai olyan hiperbolát alkotnak, aminek A és B a fókuszpontjai, és X-nek az egyik ilyen hiperbolán kell helyet foglalnia. Hasonlóan gondolkozva, X-nek ugyancsak rajta kell lennie a B és C fókuszpontú hiperbolák valamelyikén. Minden egyes hiperbolapárnak, tehát az A és B pontok által, valamint a B és C pontok által meghatározottaknak, legfeljebb négy metszéspontja lehet, és S minden pontjának (beleértve az A, B és C pontokat is) az egyik ilyen metszésponton kell feküdnie. Mivel a hiperbolapároknak legfeljebb metszéspontjuk lehet, így S legfeljebb pontot tartalmazhat.
Maximális, egész távolságú ponthalmazok A tétel más megfogalmazási módja az lehet, hogy egész távolságú nem kollineáris pontok halmaza a síkon csak véges sok további egész távolságú ponttal egészíthető ki, míg nem lehet már új pontot hozzáadni. Az egész koordinátájú és egész távolságú olyan ponthalmazokat a síkban, melyekhez már nem lehet további ilyen tulajdonságú pontokat adni, Erdős-féle diofantoszi gráfnak nevezzük.
Racionális számok vs. egész számok
Még ha nem is létezik olyan, nem kollineáris végtelen ponthalmaz, ahol a pontok távolsága páronként egész számokat ad, találhatunk olyat, ahol a távolságok racionális számok. Például nevezzük S-nek az egységkör azon pontjainak halmazát, melyekre racionális. Minden ilyen pontra és is racionálisak, és ha és két pontot határoznak meg S-ben, akkor távolságuk a következő racionális szám: . Általánosabban, egy sugarú kör pontosan akkor tartalmazza egymástól racionális távolságú pontok sűrű részhalmazát, ha racionális szám..
Bármilyen véges S, egymástól racionális távolságra lévő pontokat tartalmazó halmazra található vele hasonló, egész távolságra lévő ponthalmaz, ha az S-et nagyítjuk a benne lévő távolságok legkisebb közös nevezőjével. Ebből következik, hogy tetszőlegesen nagy, egymástól egész távolságra lévő ponthalmazok előállíthatók. Mivel azonban az S elemszámának növelése a nagyítási faktort növelheti, ez a konstrukciós módszer nem engedi meg, hogy végtelen elemszámú racionális távolságú ponthalmazt végtelen elemszámú egész távolságú ponthalmazzá alakítsunk át.
Nem ismeretes, hogy létezik-e olyan, egymástól racionális távolságra lévő pontokat tartalmazó halmaz, ami az euklideszi sík sűrű részhalmazát alkotja.
Jegyzetek
További információk
Anning Kategória:Diszkrét matematika Kategória:Diszkrét geometria Kategória:Diszkrét geometriai tételek Kategória:A síkgeometria számelméleti problémái