Az általános Dirichlet-sor a matematikai analízisben egy
alakú sor, ahol és komplex számok, és pozitív számok szigorúan monoton növő sorozata, ami a végtelenbe tart.
Egy egyszerű megfigyelés szerint a közönséges Dirichlet-sor is általános Dirichlet-sor:
ahol .
A hatványsorok is speciális általános Dirichlet-sorok:
ahol . Tulajdonságok Ha a Dirichlet-sor konvergens -ban, akkor egyenletesen konvergens az
tartományban, és konvergens minden -ben, ahol .
Ha a sor nem mindenütt, csak a komplex sík egy részén konvergens, akkor létezik egy , hogy a sor -ben konvergens, és -ben divergens. A mindenütt divergens sorokra , és a mindenütt konvergens sorokra . Ez a konvergencia abszcisszája. A konvergencia abszcisszája A konvergencia abszcisszájának alternatív definíciója:
.
A egyenest a konvergencia egyenesének nevezik, a konvergencia félsíkja pedig
A Dirichlet-sorok konvergenciájában a konvergencia abszcisszája, egyenese és félsíkja rendre a hatványsorok konvergenciasugarának, határának és tartományának felel meg.
A hatványsorok határához hasonlóan a Dirichlet-sorok konvergenciaegyenesén is nyitott kérdés a konvergencia. Azonban, ha egy függőleges egyenes egyes pontjain a sor konvergál, és más pontjain divergál, akkor az az egyenes csak a konvergenciaegyenes lehet. A bizonyítás implicit adott a konvergencia abszcisszájának a definíciójában. Például, a
sor konvergens -ben, mert az alternáló harmonikus sort adja, és divergál -ban, mert a harmonikus sort adja, így a konvergencia egyenese.
Tegyük fel, hogy egy Dirichlet-sor nem konvergál -ban. Ekkor definíció szerint , és divergál. Másrészt, ha konvergál -ban, akkor és . Ezzel két képlet adódik számítására konvergenciájától függően, amit különböző konvergenciakritériumok segítenek belátni. Ezek a Cauchy-Hadamard-tétel képleteihez hasonlóak:
Ha divergens, vagyis , akkor -re:
Ha konvergens, vagyis , akkor -re:
Az abszolút konvergencia abszcisszája Az abszolút konvergencia definíciója szerint egy Dirichlet-sor abszolút konvergens, ha
konvergens. Az abszolút konvergenciából következik a konvergencia, de ez fordítva már nem igaz.
Ha egy Dirichlet-sor abszolút konvergens -ban, akkor abszolút konvergens minden s -re, amire . Ha a sor csak a komplex számsík egy részén abszolút konvergens, akkor van olyan , hogy a sor abszolút konvergens minden -ra, és a sor vagy nem konvergál, vagy feltételesen konvergál, ha . Ez a az abszolút konvergencia abszcisszája.
Ekvivalensen, az abszolút konvergencia abszcisszája definiálható, mint:
.
Az abszolút konvergencia egyenese, illetve félsíkja a közönséges konvergenciához hasonlóan definiálható. A sor konvergenciájától függően kétféleképpen számolható:
Ha divergens, akkor -ra:
Ha konvergens, akkor -ra:
Általában az abszolút konvergencia abszcisszája nem egyezik meg a konvergencia abszcisszájával, ezért van egy sáv, amiben a sor feltételesen konvergens. A sáv szélessége:
Ha a sáv szélessége 0, akkor
Mindezek a képletek használhatók a közönséges Dirichlet-sorra is, a helyettesítéssel. Analitikus tulajdonság Egy Dirichlet-sor által reprezentált függvény
analitikus a konvergencia félsíkján. Sőt, minden -ra:
További általánosítások A Dirichlet-sor tovább általánosítható többváltozós esetre, ahol , k = 2, 3, 4,..., és komplex esetre, ahol , m = 1, 2, 3,...
Fordítás
Források G. H. Hardy, and M. Riesz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge University Press, first edition, 1915 E. C. Titchmarsh, The theory of functions, Oxford University Press, second edition, 1939 Tom Apostol, Modular functions and Dirichlet series in number theory, Springer, second edition, 1990 A.F. Leont'ev, Entire functions and series of exponentials (in Russian), Nauka, first edition, 1982 A.I. Markushevich, Theory of functions of a complex variables (translated from Russian), Chelsea Publishing Company, second edition, 1977 J.-P. Serre, A Course in Arithmetic, Springer-Verlag, fifth edition, 1973
Kategória:Komplex analízis