A matematikában Mersenne-prímeknek nevezzük a kettőhatványoknál eggyel kisebb, azaz a 2n ‒ 1 alakban felírható prímszámokat, ahol n szintén prímszám. A nevüket Marin Mersenne (1588–1648) francia szerzetes, matematikus, fizikus után kapták.
Matematikai alapok
Például 31 = 32 ‒ 1 = 25 ‒ 1 prímszám, és 5 szintén prím, ezért a 31 egy Mersenne-prím; hasonlóan, 7 = 8 ‒ 1 = 23 ‒ 1. Másrészt 2047 = 2048 ‒ 1 = 211 ‒ 1, nem Mersenne-prím, mivel bár a 11 prímszám, a 2047 = 23 ⋅ 89 nem az. 1952 óta a legnagyobb ismert prímszám Mersenne-prím, kivéve az 1989–1992 közötti időszakot.The largest known prime has been a Mersenne prime since 1952, except between 1989 and 1992; see Caldwell, "The Largest Known Prime by Year: A Brief History" from the Prime Pages website, University of Tennessee at Martin.
A Mersenne-prím definíciójában a kikötés, hogy n szükségképpen prím, elhagyható, ugyanis minden összetett n esetén megadható elemi felbontás:
Általánosabban, a Mersenne-számok (nem feltétlenül prímek, de lehetnek azok is) olyan természetes számok, amelyek eggyel kisebbek egy kettőhatványnál, tehát Mn = 2n − 1. (A legtöbb forrás a Mersenne-számoknál is megköveteli, hogy az n prímszám legyen.)
A Mersenne-prímek listája
Sorszám Hatványkitevő () Mersenne-prím () Számjegy () Felfedezés éve Felfedező Használt módszer 1 2 3 1 i. e. 430 körül Ókori görög matematikusok 2 3 7 1 i. e. 430 körül Ókori görög matematikusok 3 5 31 2 i. e. 300 körül Ókori görög matematikusok 4 7 127 3 i. e. 300 körül Ókori görög matematikusok 5 13 8191 4 1456 ismeretlen Trial division 6 17 131071 6 1588"A i lettori. Nel trattato de' numeri perfetti, che giàfino dell anno 1588 composi, oltrache se era passato auáti à trouarne molti auertite molte cose, se era anco amplamente dilatatala Tauola de' numeri composti , di ciascuno de' quali si vedeano per ordine li componenti, onde preposto unnum." p. 1 in Trattato de' nvumeri perfetti Di Pietro Antonio Cataldo 1603. http://fermi.imss.fi.it/rd/bdv?/bdviewer@selid=1373775# Pietro Cataldi Trial divisionpp. 13–18 in Trattato de' nvumeri perfetti Di Pietro Antonio Cataldo 1603. http://fermi.imss.fi.it/rd/bdv?/bdviewer@selid=1373775# 7 19 524287 6 1588 Pietro Cataldi Trial divisionpp. 18–22 in Trattato de' nvumeri perfetti Di Pietro Antonio Cataldo 1603. http://fermi.imss.fi.it/rd/bdv?/bdviewer@selid=1373775# 8 31 2147483647 10 1772 Leonhard Eulerhttp://bibliothek.bbaw.de/bbaw/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html?band=03-nouv/1772&seite:int=36 Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres 1772, pp. 35–36 EULER, Leonhard: Extrait d'une lettre à M. Bernoulli, concernant le Mémoire imprimé parmi ceux de 1771. p. 318 [intitulé: Recherches sur les diviseurs de quelques nombres très grands compris dans la somme de la progression géométrique 1 + 101 + 102 + 103 + ... + 10T = S]. Retrieved 2011-10-02.http://primes.utm.edu/notes/by_year.html#31 The date and year of discovery is unsure. Dates between 1752 and 1772 are possible. Enhanced trial division 9 61 2305843009213693951 19 1883. november“En novembre de l’année 1883, dans la correspondance de notre Académie se trouve une communication qui contient l’assertion que le nombre
est un nombre premier. /…/ Le tome XLVIII des Mémoires Russes de l’Académie /…/ contient le compte-rendu de la séance du 20 décembre 1883, dans lequel l’objet de la communication du père Pervouchine est indiqué avec précision.” Bulletin de l'Académie Impériale des Sciences de St.-Pétersbourg, s. 3, v. 31, 1887, cols. 532–533. http://www.biodiversitylibrary.org/item/107789#page/277/mode/1up [retrieved 2012-09-17]
See also Mélanges mathématiques et astronomiques tirés du Bulletin de l’Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg v. 6 (1881–1888), pp. 553–554.