bélyegkép|300px|Valahogy így nézne ki a Heaviside-függvény egy oszcilloszkóp ernyőjén
Az ún. Heaviside-függvény (a műszaki életben gyakran: egységugrás függvény) egy elemi egyváltozós valós függvény. A lépcsős függvények családjába tartozik, a szignumfüggvény egyszerű lineáris transzformáltja: kiszámolható, mint a független változó szignumának és az 1 konstansnak számtani közepe.
A függvényt a műszaki életben (például elektronika, vezérléselmélet, DSP, MNH- és általában MI-kutatás) is alkalmazzák. Gyakorta használják olyan szignálok leírására, melyek egy adott időponttól kezdve folyamatosan észlelhetőek. Általában H(x)-szel jelölik, de előfordul még a θ(x) és az u(x) jelölés is. Szokásos az ε(t) jelölés is.
Angolszász nyelvterületen a Heaviside function (Heaviside-függvény) néven kívül nevezik unit step functionnek („egységugrás függvény”),Egységugrás függvény illetve hard limit functionnek („éleshatár”-függvény). Ezek az elnevezések a magyar nyelvű szakmunkákban is gyakran előfordulnak.
250px|bélyegkép|A függvény grafikonja a H(0) = 0,5 megállapodást használva
Történetéről
A függvényt Oliver Heaviside (1850 – 1925) angol mérnök-fizikus-matematikus vezette be az elektronikus áramkörökben mért áramerősség elméleti leírására.
Többféle konvenció alakult ki arra nézve, hogy a 0 szakadási helyhez tartozó H(0) értéket hogyan definiálják. Eredetileg a H(0) := 0,5 megállapodás volt használatos, és ma is ez a leggyakoribb; későbbi szerzők a H(0) = 0 vagy a H(0) = 1 megállapodással is élnek (ld.: Heaviside-függvénycsalád).
A Heaviside-függvény definíciói
A függvényt többek között esetszétválasztásos úton (), vagy az ún. szignumfüggvény () felhasználásával () lehet definiálni.
Értékei azonban infinitezimális (azaz határértékeket, például Riemann-integrált használó) úton is számolhatóak: a Dirac-féle deltafüggvény általánosított Riemann-integrálásával, azaz ún. improprius integrálásával (), illetve egy komplex függvénytani formulával ().
A Heaviside-függvénycsalád 220px|bélyegkép|H0(x) 220px|bélyegkép|H1/2(x) 220px|bélyegkép|H1(x)
A H(0) = 0,5 egyenlőség helyett megállapodhatunk bármely másik valós számban is, a függvény 0 helyen vett értéke mi legyen. Így definiálható végtelen sok (kontinuum sok) függvény, melyek „majdnem mindenütt” egyenlőek az itteni képlettel definiált függvénnyel:
Hz(x): ℝ→ℝ; Hz(x) = ahol z∈ℝ tetszőleges valós szám lehet.
Ezek közül leggyakrabban H0(x) (tehát melyre H0(0)=0) illetve a H1(x) (tehát melyre H1(0)=1) használatosak. Megvan az az előnyük, hogy elegendő csak kettős esetszétválasztással definiálni őket, és nem kell három esetet megkülönböztetni.
Pl.: H0(x): ℝ→ℝ; H0(x) =
Mellesleg, H1(x) egyszerű lineáris transzformáltja H0(x)-nak: H1(x) = -H0(-x)+1
Néha a Hz(x) jelölést a H(x-z), még inkább a H1(x-z) rövidítésére is használják; noha ily módon csak egy nagyon egyszerű lineáris transzformációt rövidítenek.
Analitikus tulajdonságok Nemnegativitás A teljes értelmezési tartományon nemnegatív, ezért abszolút értéke önmaga, azaz
∀x∈ℝ: H(x)≥0 és
|H(x)| = H(x) . Bizonyítás: a definíció alapján az I. negyedben nemnegatív (hiszen 1), a másodikban nulla, így mindenhol nemnegatív.
Ez a Hz(x) családnak csak azon tagjaira igaz, melyekre z≥0. Az x = 0 kivételével azonban a család összes többi tagja is mindenütt másutt nemnegatív.
Korlátosság
A teljes értelmezési tartományon korlátos, hiszen
∀x∈ℝ: |H(x)|≤1
Az 1. definíció alapján ez nyilvánvaló, hiszen x>0 esetén a függvény legfeljebb 1, és így abszolút értéke is legfeljebb 1; x=0 esetén a függvény 1/2, míg x<0 esetén 0, és az utóbbi esetekben is kisebb 1-nél, de nemnegatív, ezért abszolút értéke önmaga, s így abszolút értéke is kisebb mint 1.
A Hz(x) család többi tagjai is mind korlátosak, csak épp az abszolútérték korlátja nem 1, hanem |z| (hasonlóan bizonyíthatóan az előző gondolatmenethez), tehát: ∀x∈ℝ: |Hz(x)|<|z|
Folytonosság
Nem folytonos, mert 0-ban szakadási helye (ráadásul nem megszüntethető szakadása) van, de 0-t kivéve az értelmezési tartomány összes többi pontjában folytonos. Összességében: majdnem mindenütt folytonos.
Ez igaz a Hz(x) család összes többi tagjára is.
Derivált Deriváltja az x = 0 kivételével mindenütt a konstans 0 függvény, tehát H'(x) = 0(x) = 0 ha x≠0. (tehát a H(x) mint függvény deriváltja a 0(x) konstans 0 függvény, míg a H(x) x helyen felvett értéke a 0 szám).
Hiszen a függvény mindenütt konstans, tehát deriváltja, ahol csak létezik, 0. És a 0 helyet kivéve, minden más helyen létezik.
Azonban a deriváltfüggvényt a kibővített valós számok halmazán (ℝ∪{±∞}) értelmezve, a 0 helyen is létezik derivált, mégpedig a Dirac-delta; mivel e helyen a jobb és bal oldali derivált egyaránt +∞.
A deriváltra vonatkozó fenti megállapítások igazak a Hz(x) család összes többi tagjára is.
Integrál
Integrálja az ún. rámpafüggvény:
Fourier-transzformált
Itt az ún. Dirac-delta.
Algebrai tulajdonságok Iteráció-stabilitás
Az iterációra („önmagára való alkalmazásra”) nézve nem invariáns, ugyanis H<2>(x) második iteráltja nem önmaga, hanem .
Magasabb fokú iteráltjai azonban n = 3-tól kezdve már stabilizálódnak, a harmadik iterált már iteráció-invariáns, sőt iteráció-fix; a stabil iterált pedig a konstans 1 függvény: ha n≥3 (n∈ℕ).A félreérthető 1(x) = 1 egyenlőség ama két állítást tömöríti, hogy az iterált függvény a konstans 1 függvény, ennélfogva a függvényértékek mindenütt az 1 számmal egyenlőek; s nem szabad úgy kiolvasni, hogy a konstans módon 1 értéket felvevő valós-valós függvény azonos lenne az 1 valós számmal (csupán az értékei). Ezt úgy láthatjuk be, hogy az alábbi táblázatban sorról sorra kiszámítjuk az értékeket, minden oszlop értékei az előző oszlop megfelelő cellájában lévő érték H(x) szerinti képe.
n x>0 x=0 x<0 H<n>(x) 0 x x x idℝ 1 1 1/2 0 H(x) 2 H(1) =1 H(1/2) =1 H(0) =1/2 3 H(1) =1 H(1) =1 H(1/2) =1 1(x) 4 H(1) =1 H(1) =1 H(1/2) =1 1(x) ...
Ez igaz a Hz(x) család z>0 paraméterű tagjaira is. A z<0 negatív paraméterű tagok iteráltja nem stabilizálódik, hanem az n=1-rendű iterált (az eredeti függvény) és egy másik függvény (az n=2-rendű iterált) közt felváltva ingadozik.
Diszkrét Heaviside-függvény
Az értelmezési tartomány ℕ-re szűkítésével kapjuk a diszkrét Heaviside-függvényt:
ahol a Kronecker-delta-függvény.
Technikai felhasználása Elektronikában
Erősítő, vagy szabályzókör bemenetére egységugrás függvény szerinti jelet (gyakorlatilag négyszögjelet) kapcsolva a kimeneti jel alapján a frekvenciamenetre, és a stabilitásra vonatkozó következtetéseket lehet levonni (a frekvenciamenet vizsgálat pontosabb eredményt ad).
Jegyzetek
Irodalom
Kapcsolódó szócikk szignumfüggvény
Kategória:Valós analízis Kategória:Függvények Kategória:Alkalmazott tudományok Kategória:Szabályozáselmélet