200px|thumb|A 36 háromszögű négyzetszám háromszögszám- és négyzetszám-felírásában.
A matematika, közelebbről a számelmélet területén a háromszögű négyzetszámok olyan természetes számok, amik egyszerre háromszögszámok és négyzetszámok. Végtelen sok ilyen szám létezik, az első néhány: 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 .
Explicit képletek Jelölje a -adik háromszögű négyzetszámot, és pedig a hozzá tartozó négyzet és háromszög oldalait, így adódik:
.
Legyen egy háromszögszám háromszöggyöke . A definícióból és a kvadratikus formulából adódóan . Ezért akkor és csak akkor háromszögszám, ha négyzetszám, és természetesen akkor és csak akkor négyzetszám és háromszögszám egyben, ha négyzetszám, tehát ha léteznek olyan és egész számok, melyekre . Ez a Pell-egyenlet egyik példája, ahol . Minden Pell-egyenletnek van egy triviális megoldása (1,0), ezt a nulladik megoldásnak nevezik, és indexe . Ha jelöli adott -re nézve bármely Pell-egyenlet k-adik nemtriviális megoldását, akkor a végtelen leszállás módszerével megmutatható, hogy és . Ezért bármely Pell-egyenletnek, aminek létezik nem triviális megoldása (ha n nem négyzetszám), végtelen sok megoldása létezik. Az első nem triviális megoldás -ra könnyen megtalálható: (3,1). Az megoldás az Pell-egyenletre a következő módon ad meg egy háromszögű négyzetszámot annak négyzet- és háromszöggyökével: és . Így tehát az első háromszögű négyzetszám, ami a (3,1)-ből adódik az 1, a következő, ami a (17,6) (=6×(3,1)-(1,0))-ból adódik, a 36.
Az Nk, sk és tk sorozatok az OEIS-ben itt találhatók: , , illetve .
1778-ban Leonhard Euler meghatározta az explicit képletet:
.
A fentiből következő, de esetenként kényelmesebben használható képletek még:
.
A megfelelő explicit képletek -ra és -ra nézve:
és .
Pell-egyenlet A háromszögű négyzetszámok keresése a következő módon redukálható a Pell-egyenlet megoldására. Minden háromszögszám felírható t(t + 1)/2 alakban. Ezért olyan t és s egész számokat keresünk, melyekre
.
Némi átalakítással:
majd helyettesítve és -et, a következő diofantoszi egyenlethez jutunk:
ami a Pell-egyenlet egy példánya. Ezt a konkrét darabot a Pell-számok a következőképpen oldják meg:
ezért az összes megoldás kiolvasható a következőből:
.
Sok azonosság létezik a Pell-számokkal kapcsolatban, ezek a háromszögű négyzetszámokkal kapcsolatos identitásokká alakíthatók.
Rekurrencia-relációk
A háromszögű négyzetszámok definiálhatók rekurzív sorozatként, ahogy a hozzájuk kapcsolódó négyzetek és háromszögek oldalai is. Ezek
, ahol ;
, ahol .
Továbbá
, ahol ;
, ahol .
Más karakterizációk Minden háromszögű négyzetszám felírható alakban, ahol konvergál négyzetgyök 2 lánctört-alakjához.
A. V. Sylwester rövid bizonyítása arra nézve, hogy végtelen sok háromszögű négyzetszám létezik:
Ha az háromszögszám négyzetszám, akkor a nagyobb
háromszögszám is négyzetszám.
Azért tudjuk ezt, mert három négyzetszám szorzataként áll elő: (a kitevő alapján), (az -edik háromszögszám, a kiindulási feltétel alapján) és (a kitevő alapján). Négyzetszámok szorzata minden esetben négyzetszám lesz. Ez onnan is tudható, hogy a teljes négyzetnek levés szükséges és elégséges feltétele, hogy páros hatványon szerepeljenek a prímtényezők a prímtényezős felbontásban, és ez a tulajdonság két négyzetszám összeszorzásánál megmarad.
A háromszöggyökök váltakozva eggyel kisebbek egy négyzetszámnál és kétszeresei egy négyzetszámnak (páros k értékekre), illetve négyzetszámok és eggyel kisebbek egy négyzetszám kétszeresénél (páratlan k értékekre). Tehát, és . Mindegyik esetben a két négyzetgyök összeszorzása a következőt adja: és .
és . Más szavakkal, két egymást követő háromszögű négyzetszám különbsége egy harmadik háromszögű négyzetszám négyzetgyökével egyezik meg.
A háromszögű négyzetszámokat előállítő függvény:
.
Numerikus adatok
Ahogy értéke egyre nő, a arány egyre jobban megközelíti a -t, az egymást követő háromszögű négyzetszámok aránya pedig -t. Az alábbi táblázat bemutatja értékeit 0 és 7 között.
01121,333333631,434,0277841,4117633,9722451,4137933,9706161,4141433,9705671,4142033,97056
Jegyzetek
További információk Triangular numbers that are also square at cut-the-knot
Michael Dummett's solution
Kategória:Figurális számok Kategória:Nevezetes számsorozatok