Az Eukleidész–Mullin-sorozat egy prímszámokból álló, ismétlődést nem tartalmazó sorozat, melynek minden eleme a korábbi elemek szorzatánál eggyel nagyobb szám legkisebb prímtényezője. Nevét a végtelen sok prímszám létezését igazoló ókori görög matematikusról, Eukleidészről, valamint a sorozat ötletét 1963-ban felvető kanadai matematikusról, Albert A. Mullinról kapta..
A sorozat első 51 eleme a következő:
2, 3, 7, 43, 13, 53, 5, 6221671, 38709183810571, 139, 2801, 11, 17, 5471, 52662739, 23003, 30693651606209, 37, 1741, 1313797957, 887, 71, 7127, 109, 23, 97, 159227, 643679794963466223081509857, 103, 1079990819, 9539, 3143065813, 29, 3847, 89, 19, 577, 223, 139703, 457, 9649, 61, 4357, 87991098722552272708281251793312351581099392851768893748012603709343,Factoring 43rd term of Euclid–Mullin sequencehttp://escatter11.fullerton.edu/nfs/forum_thread.php?id=102&postid=398#398 107, 127, 3313, 227432689108589532754984915075774848386671439568260420754414940780761245893,Factoring EM47 59, 31, 211...
Ezek a sorozat ismert elemei (2016. november). A következő elem megtalálásához egy 335-jegyű összetett szám legkisebb prímtényezőjét kellene megtalálni.
Definíció Jelölje an a sorozat n-edik elemét, ekkor an a következő szám legkisebb prímtényezője:
Az első elem tehát az üres szorzat plusz 1 legkisebb prímtényezője, azaz 2. A sorozat 13-as értékű tagja így kapható meg: 2 × 3 × 7 × 43 + 1 = 1806 + 1 = 1807 = 13 × 139.
Tulajdonságai A sorozat végtelen, és nem tartalmazza kétszer ugyanazt az elemet. Ez igazolható Eukleidész végtelen sok prímszám létezését igazoló bizonyítása segítségével. A bizonyítás konstruktív és a sorozat épp a konstrukció egy változata.
Sejtés tette fel a kérdést, hogy vajon minden prímszám szerepel-e az Eukleidész–Mullin-sorozatban, és ha nem, vajon adott prímszámról kiszámítható-e, hogy tagja-e a sorozatnak; ezek a kérdések máig nyitottak. A legkisebb prímszám, amiről nem ismert, hogy tagja-e a sorozatnak, a 41.
A 100-nál kisebb prímszámok pozíciói a sorozatban: 2:1, 3:2, 5:7, 7:3, 11:12, 13:5, 17:13, 19:36, 23:25, 29:33, 31:50, 37:18, 41:?, 43:4, 47:?, 53:6, 59:49, 61:42, 67:?, 71:22, 73:?, 79:?, 83:?, 89:35, 97:26 , ahol a ? arra utal, hogy az adott prímszám sorozatbeli pozíciója, illetve hogy egyáltalán tagja-e a sorozatnak, jelenleg nem ismert.The listing with the question marks is given in the Extensions field of the OEIS entry, whereas the main listing stops at 33 and has no question marks.
Kapcsolódó sorozatok A második Eukleidész–Mullin-sorozatnak hívott sorozat tagjait úgy határozzuk meg, hogy az előző elemek szorzata plusz 1-nek nem a legkisebb, hanem a legnagyobb prímtényezőjét vesszük. Az előző sorozatnál gyorsabban növekszik, de szintén nem monoton,. továbbá ismert róla, hogy nem tartalmazza az összes prímszámot. A sorozat első néhány eleme: 2, 3, 7, 43, 139, 50207, 340999, 2365347734339, 4680225641471129, 1368845206580129, 889340324577880670089824574922371, … .
Egy másik változtatással, ha nem végezzük el a prímtényezőkre bontást, hanem minden elem az összes előző elem szorzata plusz 1, akkor a Sylvester-sorozatot kapjuk. Az a sorozat pedig, amikor a korábbi számok szorzata plusz 1 összes prímtényezőjét vesszük sorban, a Sylvester-sorozat prímtényezőit adja ki. Az Eukleidész–Mullin-sorozathoz hasonlóan prímek nem monoton sorozatát kapjuk, de erről ismert, hogy nem tartalmazza az összes prímszámot..
Kapcsolódó szócikkek Eukleidész-féle szám
Jegyzetek
További információk
A. R. Booker, S. A. Irvine: The Euclid-Mullin graph Factoring 43rd Term of Euclid–Mullin sequence, factorizations of the numbers for which the sequence elements is the smallest prime factor
Kategória:Nevezetes számsorozatok