A Gauss–Lucas-tétel kapcsolatot teremt egy komplex együtthatós polinom gyökei és deriváltjának gyökei között.
A tétel állítása Ha egy komplex együtthatós polinom, akkor minden gyöke gyökeinek konvex burkában van (a komplex számsíkon).
A tétel bizonyítása Legyen gyöktényezős felbontása
ahol a különböző gyökök multiplicitásai . Ekkor
Legyen s egy gyöke. Ha az gyökök valamelyike, az állítás nyilvánvaló. Tegyük fel tehát, hogy nem közülük való. A fentiek szerint
A nevezőket konjugáltjaikkal megszorozva az adódik, hogy
ahol
Minden pozitív valós szám. A bal oldal tagjait konjugálva az adódik, hogy . Legyen . Ekkor azt kapjuk, hogy
Ha most bevezetjük a számokat, akkor egyrészt
másrészt a -k nemnegatív valós számok amelyek összege 1, tehát valóban benne van az -k konvex burkában.
Kategória:Matematikai tételek Kategória:Polinomok Kategória:Komplex analízis