right|thumb|A Bernoulli-egyenlőtlenség egy esetének ábrázolása. Itt pirossal, pedig kék színnel van ábrázolva és A Jakob Bernoulli svájci matematikusrólHarro Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1., B. G. Teubner Stuttgart, 1984, , S. 61, Kapitel 7.9 und S. 68, Aufgabe 7.17 elnevezett Bernoulli-egyenlőtlenség a matematikai analízis egyik fontos tétele, amely szerint bármely valós szám és természetes szám esetén
Egyszerű, de fontos egyenlőtlenség, amivel egy hatványfüggvény alulról becsülhető.
A tétel bizonyítása
Teljes indukcióval
A bizonyítás teljes indukcióval végezhető:http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/erlaeuterung/erlaeuterung39/ -re nyilván egyenlőség áll, és ha az állítás igaz -re, akkor
ami a szorzás elvégzése után
Egyenlőség nyilván csak az , vagy esetben teljesül. Egy direkt bizonyítás
Az alábbi bizonyítás megjelent a kolozsvári Matlap, 2014. 2-es számában Varga János tollából.Varga János: A Bernoulli-egyenlőtlenség egyszerű bizonyítása, Matlap, 2014. 2. szám. 48. o. Online hozzáférés
1. Legyen . Ekkor a hányadosú mértani sorozat összege , hisz mindegyik tagja legalább 1. A mértani sorozat összegképletéből viszont azt kapjuk, hogy , vagyis
2. Legyen . Ekkor , tehát a fenti képletre azt kapjuk, hogy , és mivel , az eredmény ugyanaz:
Megjegyzés A Bernoulli-egyenlőtlenségnél gyengébb állítást sokkal körülményesebb teljes indukcióval bizonyítani.
Nemnegatív h-ra az egyenlőtlenség megkapható a binomiális tétel segítségével:
Rokon egyenlőtlenségek Szigorú egyenlőtlenség Ugyanígy nevezik Bernoulli-egyenlőtlenségnek a szigorú egyenlőtlenséget megkövetelő változatot is: Minden valós -re és -ra és minden természetes számra .
A bizonyítás ugyanúgy végezhető teljes indukcióval, mint a nem szigorú változat. Valós kitevős hatványok Valós kitevőkre a deriváltak összehasonlításával az egyenlőtlenség a következőképpen általánosítható: Minden -re , ha és , ha .
Különböző tényezők Ha nem hatványt veszünk, hanem különböző tényezők szorzatát, akkor teljes indukcióval megmutatható, hogy
ahol minden -re vagy , vagy teljesül, és
-et helyettesítve és a speciális esetet tekintve a Weierstraß-szorzategyenlőtlenséget kapjuk:,http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassProductInequality.html,http://www.cut-the-knot.org/Generalization/wineq.shtml
Alkalmazások Egy sorozat határértéke Állítás:
minden valós számra.
Bizonyítás: Definiáljuk az sorozatot a következőképpen: . Ekkor a Bernoulli-egyenlőtlenség szerint , így . De , tehát . És végül
Exponenciális függvény Egyszerűsége ellenére a Bernoulli-egyenlőtlenség sokszor hasznosnak bizonyul becslésekben. Legyen rögzítve egy . Ekkor minden -re. A Bernoulli-egyenlőtlenséggel minden -re. Mivel
azért beláttuk a minden -re az egyenlőtlenséget.
A számtani-mértani közép egyenlőtlensége A Bernoulli-egyenlőtlenséget felhasználva teljes indukcióval:
Legyen az pozitív számok maximuma, és számtani közepe. Ekkor , és a Bernoulli-egyenlőtlenség folytán . Az indukciós feltétellel , ami éppen az, amit bizonyítani akartunk.
A bizonyítás megtalálható például Heuser könyvében (H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, Kapitel 12.2.)
Jegyzetek
Források Császár Ákos: Valós analízis
Kategória:Valós analízis Kategória:Egyenlőtlenségek