A matematika, azon belül a gráfelmélet területén egy Sk csillaggráf vagy röviden csillag (star) megegyezik a K1,k teljes páros gráffal: olyan fa, melynek egyetlen közbülső csúcsa és k levele van (kivétel a k ≤ 1 eset, amikor nincs közbülső csúcs, de van k + 1 levél). Más szerzők definíciója szerint az Sk csillag a k rendű fa, melynek maximális átmérője 2; ebben az esetben a k > 2 csillag k − 1 levéllel rendelkezik.
A háromélű csillagot nevezik karomnak is.
Az Sk csillag elegánsan élcímkézhető, ha k páros, és nem az, ha k páratlan. Éltranzitív gyufagráf, átmérője 2 (ha k > 1), Girthparamétere ∞ (nem tartalmaz kört), élkromatikus száma k, kromatikus száma 2 (ha k > 0). A csillagnak egy nagy automorfizmus-csoportja van, a k betű felett értelmezett szimmetrikus csoport.
A csillagok úgy is leírhatók, mint azok az összefüggő gráfok, melyben legfeljebb egy csúcs foka nagyobb 1-nél.
Más gráfcsaládokkal való kapcsolata A karomgráf szerepel a karommentes gráfok definíciójában – ezek olyan gráfok, melyek nem tartalmazzák a karmot feszített részgráfként... A karom az egyetlen kivétel Whitney izomorfizmustétele alól: a két összefüggő gráf élgráfjai izomorfak, az eredeti gráfok is izomorfak, kivéve a K3 háromszöggráf és a K1,3 csillaggráf esetét, melyek élgráfjai izomorfak, de ők maguk nem azok.; ; , Theorem 8.3, p. 72. Harary megadja a tétel egyszerűsített bizonyítását itt: .
A csillag egy speciális fa. Ahogy a többi fa, a csillag is leírható Prüfer-kódjával; a K1,k csillag Prüfer-kódja a középponti csúcs k − 1 másolatából áll. .
Több gráfinvariánst definiálnak csillagok segítségével. A csillagarboricitás a minimális számú erdő, amikbe a gráf felosztható oly módon, hogy az erdő fái mind csillagok legyenek, egy gráf csillagkromatikus száma pedig a legkevesebb szín, ami szükséges a csúcsok színezéséhez oly módon, hogy bármely két szín együtt olyan részgráfot alkosson, amiben az összefüggő komponensek csillagok.. Az 1 fafelbontású gráfok pontosan azok, melyekben minden összefüggő komponens egy csillag..
További alkalmazásai A karom csúcsai közötti távolságok példát adnak olyan véges metrikus térre, ami nem ágyazható be izometrikusan egy tetszőleges dimenziószámú euklideszi térbe.
A csillagpontos hálózat az egyik legkorábbi hálózati topológia.
A csillaggráf éleinek fix intervallumokkal helyettesítve történő mértani megvalósítását használják a tropikus geometria területén a görbék helyi modelljének megalkotására. Egy tropikus görbe olyan metrikus tér, ami lokálisan egy csillag formájú metrikus gráffal izomorf.
Jegyzetek
Kategória:Fák (gráfelmélet) Kategória:Parametrikus gráfcsaládok