Egy prímideál az algebrában egy gyűrű olyan ideálja, ami számos tekintetben a prímszámok fogalmának felel meg.
Definíció Egy kommutatív, egységelemes gyűrű ideálja akkor prímideál, ha vagy . A prímideálok halmazát a gyűrű spektrumának nevezzük és -rel jelöljük. A spektrum a Zariski-topológiával ellátva topologikus térré tehető.
Példák A racionális egészek gyűrűjében a prímideálok alakúak, ahol vagy prímszám. A polinomgyűrűben a és által generált ideál prímideál, és pontosan azokból a polinomokból áll, amiknek konstans tagja páros szám. Alaptételes gyűrűben egy irreducibilis elem által generált ideál prímideál.
Tulajdonságok Egy ideál akkor és csak akkor prímideál, ha nullosztómentes. Minden maximális ideál prím, de a megfordítás általában nem igaz. Krull tétele szerint tetszőleges -ben létezik maximális ideál, következésképpen prímideál is. Egy ideál akkor és csak akkor prímideál, ha multiplikatívan zárt halmaz. Ez a prímideálnál vett lokalizált fogalmához vezet; ezt helyett rövidebben -vel szokás jelölni. Prímideál gyűrűhomomorfizmusnál vett ősképe prímideál.
Fordítás
Kategória:Ideálok Kategória:Kommutatív algebra