A momentumgeneráló függvény a valószínűségi változókhoz rendelt függvények egyike. Sok esetben definiálható a függvény a nulla egy környezetében a komplex síkon vagy a valós számok egy szakaszán, és deriváltjai segítenek kiszámítani a valószínűségi változó momentumait, innen a neve.
Definíció Egy valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye:Robert G. Gallager: Stochastic Processes. Cambridge University Press, 2013, , Kapitel 1.5.5: Moment generating functions and other transforms , ahol a függvény változója. A momentumgeneráló függvény ott van értelmezve, ahol a jobb oldali várható érték létezik. Mindenesetre a konvergencia igaz a pontban. Sok esetben ennek egy környezetében is teljesül a konvergencia, így a függvény hatványsorba fejthető: . Ahol és az momentumai.
A momentumgeneráló függvény csak eloszlásától függ. Ha a valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye a nulla egy környezetében is konvergál, akkor az eloszlásnak van momentumgeneráló függvénye. Ha csak a nullában értelmezhető, akkor az eloszlásnak nincs momentumgeneráló függvénye.
Folytonos valószínűségeloszlások Ha eloszlása folytonos az folytonos sűrűségfüggvénnyel, akkor a várható érték helyettesítésével teljesül, hogy
ahol az -adik momentuma. Az éppen az által meghatározott mérték kétoldali Laplace-transzformációja.
Megjegyzések Elnevezés A momentumgenerátor név abból ered, hogy a függvény deriváltjai a nulla helyen éppen a valószínűségeloszlás momentumait veszik fel, mégpedig a -adik derivált a -adik momentumot: , ahogy az a fenti hatványsorból is kiolvasható. Az összes létező és nem eltűnő momentummal az eloszlás egyértelmű, feltéve, ha a momentumgeneráló függvény értelmezhető egy nyílt szakaszon, ahol . Kapcsolat a karakterisztikus függvénnyel A momentumgeneráló függvény kapcsolódik az eloszlás karakterisztikus függvényéhez. Momentumgeneráló függvény létezése esetén . Szemben a momentumgeneráló függvénnyel, karakterisztikus függvénye minden valószínűségi változónak van. Kapcsolat a valószínűséggeneráló függvénnyel Valószínűséggeneráló függvénye csak olyan eloszlásoknak van, amelyek értékei -beliek. Ekkor ez a függvény . Ekkor diszkrét változókra . Kapcsolat a kumulánsgeneráló függvénnyel A kumulánsgeneráló függvény a momentumgeneráló függvény logaritmusa. Belőle vezetik le a kumulánsokat. Független valószínűségi változók összege Független valószínűségi változók összegének momentumgeneráló függvénye a valószínűségi változók momentumgeneráló függvényeinek szorzata. Azaz, ha független valószínűségi változók, akkor momentumgeneráló függvénye: , ahol az utolsó előtti egyenlőség azt használja fel, hogy független valószínűségi változók összegének várható értéke a valószínűségi változók várható értékeinek szorzata. Egyértelműség Ha egy valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye véges a nulla egy környezetében, akkor egyértelműen meghatározza a valószínűségi változó eloszlását.J. H. Curtiss: A Note on the Theory of Moment Generating Functions. In: The Annals of Mathematical Statistics. Band 13, Nr. 4, 1942, , S. 430–433, abgerufen 30. Dezember 2012, (PDF; 402 KB).
Legyenek és valószínűségi változók, az és momentumgeneráló függvényekkel. Ha van egy , hogy minden esetén, akkor akkor és csak akkor, ha minden helyen. Példák Több eloszlásnak ismert a momentumgeneráló függvénye: Eloszlás Momentumgeneráló függvény, MX(t) Bernoulli-eloszlás Béta-eloszlás Otto J.W.F. Kardaun: Classical Methods of Statistics. Springer-Verlag, 2005, , S. 44. Binomiális eloszlás Cauchy-eloszlás Nincs momentumgeráló függvény.Allan Gut: Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag, 2012, , Kapitel 8, Beispiel 8.2. Khi-négyzet-eloszlás A. C. Davison: Statistical Models. Cambridge University Press, 2008, , Kapitel 3.2. Erlang-eloszlás ha Exponenciális eloszlás ha Gamma-eloszlás Geometriai eloszlás a paraméterrel Egyenletes eloszlás a intervallumon Laplace-eloszlás a paraméterekkelHisashi Tanizaki: Computational Methods in Statistics and Econometrics. Verlag Taylor and Francis, 2004, , Abschnitt 2.2.11. Negatív binomiális eloszlás ha Normális eloszlás Poisson-eloszlás a paraméterrel
Többdimenziós valószínűségi változó A momentumgeneráló függvény általánosítható dimenziós valós valószínűségi vektorváltozóra. Legyen , ekkor , ahol a skaláris szorzás. Jegyzetek
Források Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. Springer, Berlin / Heidelberg 2009, , S. 378 ff. Fordítás
Kategória:Valószínűségszámítás