Az eltolási tétel egy számolási szabályt mond ki a szórásnégyzet és a szórás számítására.
Legyenek valós számok, és számtani közepüket jelölje . Ekkor .
Ez segíti a tapasztalati szórásnégyzet kiszámítását, különösen egyenként érkező adatok esetén. Ekkor nem kell letárolni az összes -t (tár), és nem kell végigfutni az összes tagon (számítási idő). Azonban korlátos számítási pontosság esetén a kivonás miatt vészes kiegyszerűsödés jöhet létre, különösen, ha sokkal nagyobb, mint a szórásnégyzet. Ekkor segíthet a következő becslés:Tony F. Chan, Gene H. Golub, Randall J. LeVeque: Algorithms for computing the sample variance: analysis and recommendations. In: The American Statistician Vol. 37, No. 3 (Aug., 1983), S. 242–247 .
A szakirodalom numerikusan stabilabb számítási módokat is ismer.
Példa A minőségbiztosítás keretében kávécsomagokat mérlegelnek. Az első négy csomag súlya grammban:
Az átlagos súly:
A négyzetes eltérések összege:
További számítások a tétel alkalmazásához:
Ezzel például a (korrigált) tapasztalati szórásnégyzet:
mivel
Ha érkezik még egy csomag, akkor az eltolási tétel szerint a és összegeket kell továbbszámolni. Az ötödik csomag súlya 510 gramm. Ekkor
végül
Ezzel az új tapasztalati szórásnégyzet
Alkalmazások Szúrópróba kovarianciája Két valószínűségi változó, és a minta különböző tulajdonságait méri, kovarianciájuk
Eltolási tétellel
A korrigált tapasztalati kovariancia a minta átlagos kovariaciája
Valószínűségi változók Szórásnégyzet Egy valószínűségi változó szórásnégyzete
az eltolási tétellelAnsgar Steland: Basiswissen Statistik, S. 116
ami König-Huygens-tételként ismert.
A várható érték linearitásával
Az eltolási tétel általánosabb ábrázolása: .
Ha diszkrét valószínűségi változó az lehetséges kimenetekkel, és a hozzájuk tartozó valószínűségekkel, akkor
Speciálisan, ha , akkor , és a fenti képlettel
Ha abszolút folytonos valószínűségi változó, és sűrűségfüggvénye , akkor
Az eltolási tétellel
Kovariancia Két valószínűségi változó, és kovarianciája
Az eltolási tétellel
Diszkrét esetben
illetve
ahol a közös valószínűségi tömegfüggvény, az és valószínűségi tömegfüggvényekkel.
Folytonos esetben legyen és közös sűrűségfüggvénye az , helyen. Ekkor a kovariancia
illetve
Bizonyítás A legegyszerűbb esetben adottak az számok, amelyek például egy szúrópróbából származnak. A négyzetes eltérések összegének számítása:
ahol
a számok számtani közepe. Az eltolási tétel egy kis további számolással belátható:Hans-Friedrich Eckey, Reinhold Kosfeld, Christian Dreger: Statistik: Grundlagen — Methoden — Beispiele, S. 86
.
Jegyzetek
Ausführliche Berechnungen für den diskreten und stetigen Fall a www.mathebibel.de helyen
Kategória:Valószínűségszámítás