Két mátrix és akkor hasonló, ha létezik egy invertálható mátrix , ami teljesíti a következő egyenletet: .
A mátrixot bázistranszformáció mátrixnak szokták nevezni, mivel hasonló mátrixok ugyanazt a lineáris leképzést reprezentálják, csak különböző bázishoz viszonyítva.
A hasonlóságot helyenként vagy módon jelölik.
Tulajdonságok
A hasonlóság egy ekvivalenciareláció: Reflexív: minden mátrix saját magához hasonló . Bizonyítás: , ahol az egységmátrixot jelöli. Szimmetrikus: ha , akkor . Bizonyítás: Tranzitív: ha és akkor . Bizonyítás: kifejezhető mint és mit . újraírható mint . Bázistranszformáció mátrix ebben az esetben .
Ha két mátrix , hasonló , akkor A rangok azonosak: . Bizonyítás: a kifejezés átírható mint . Mivel invertálható, ezért a rangja .
A determinánsok azonosak: . Bizonyítás:
A nyomok azonosak: . Bizonyítás:
A karakterisztikus polinomok azonosak: . Bizonyítás:
Sajátértékek és a hozzátartozó algebrai multiplicitások azonosak. Bizonyítás: mivel karakterisztikus polinomok azonosak, ezért a karakterisztikus egyenleteknek is azonosnak kell lenniük. Ebből következtethető, hogy a sajátértékek is azonosak. Jordan-féle normálformák azonosak.
Példa
A két mátrix és hasonlóak. A bázistranszformáció mátrix ebben az esetben .
Rang
Determináns
Nyom
Karakterisztikus polinom
Források
§2
Kategória:Mátrixok