A parabolikus hengerkoordináta-rendszer egy háromdimenziós ortogonális koordináta-rendszer a matematikában. A kétdimenziós parabolikus koordináta-rendszerből származtatható, melyet egy harmadik, annak síkjára merőleges harmadik koordinátával egészít ki. Így koordinátafelületei konfokális parabolikus hengerek. Több alkalmazásuk is van, például az élek potenciálelméletében.
Definíciók
A (σ, τ, z) parabolikus hengerkoordináták transzformációja (x, y, z) Descartes-féle koordináta-rendszerbe:
A konstans σ-jú koordinátafelületek konfokális parabolikus hengerek:
melyek az y-tengely pozitív irányába nyitottak. A konstans τ-jú koordinátafelületek szintén konfokális parabolikus hengerek:
melyek az y-tengely negatív irányába nyitottak. Mindezen parabolikus hengerek fókuszegyenese az x = y = 0 egyenes. Az r sugár képlete is egyszerű:
ami hasznos a parabolikus koordináta-rendszerben adott Hamilton–Jacobi-egyenlet megoldásában. Lásd még: Laplace–Runge–Lenz-vektor.
Skálázási tényezők A σ és a τ parabolikus hengerkoordináták skálázási tényezői:
Differenciálelemek Az infinitezimális térfogatelem:
A differenciális áthelyezés:
A differenciális normálterület:
Differenciáloperátorok Legyen f skalármező! Ekkor:
és a Laplace-operátor:
Legyen A vektormező, melynek alakja:
Ekkor a divergencia:
és a rotáció:
A további differenciáloperátorok kifejezhetők a koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe. Kapcsolat más koordináta-rendszerekkel Kapcsolat a (ρ, φ, z) hengerkoordinátákkal:
A parabolikus hengerkoordináta-rendszer egységvektorai kifejezve a Descartes-koordináta-rendszer egységvektoraival:
Harmonikus függvények Mivel az összes konstans σ, τ és z értékhez tartozó felület másodfokú felület, Laplace egyenlete szétválasztható a koordináta-rendszerben. A változók szétválasztásával Laplace egyenlete a következő alakba írható:
Osztva V-vel:
Mivel a Z egyenlet elválasztható a többitől, azért:
ahol m konstans. A Z(z) megoldása:
Behelyettesítve −m2-et -be, Laplace egyenlete a következő alakot ölti:
Most leválaszthatjuk az S és a T függvényeket, és bevezetünk egy újabb konstanst, n2-et. Nyerjük, hogy:
Így kapjuk a parabolikus henger harmonikusokat:
Az (m, n) harmonikus függvényei a megoldások szorzatai. A kombináció csökkenti a konstansok számát, és Laplace egyenletének megoldása írható, mint:
Alkalmazások A parabolikus hengerkoordináta-rendszer klasszikus alkalmazása parciális differenciálegyenletek megoldása, például Laplace egyenletének és a Helmholtz-egyenletnek megoldásában, mivel így a differenciálegyenletek szétválaszthatókká válnak. Egy példa egy félig végtelen vékony vezető lemez elektromos mezeje.
Források
Same as Morse & Feshbach (1953), substituting uk for ξk.
MathWorld description of parabolic cylindrical coordinates Fordítás
Kategória:Analitikus geometria