alt=NM-method|jobbra|bélyegkép| NM-módszer
Az NM-módszer (avagy a Naszódi–Mendonça-módszer) a statisztikában, ökonometriában, közgazdaságtanban, szociológiában és demográfiában alkalmazható módszer, amellyel tényellentétes kontingenciatáblázatok készíthetők. A módszer megkeresi azt az () mátrixot, amely a „legközelebb” áll a () – magtáblázatnak is nevezett – mátrixhoz abban az értelemben, hogy azonos rangsorolású, de a sor- és oszlop-összegei egy célmátrix sor- és oszlop-összegeivel egyeznek meg. Míg az mátrix sor- és az oszlop-összegei ismertek, addig maga az mátrix nem feltétlen ismert.
Mivel a fenti megkötések egyértelműen meghatározzák az mátrixot, ezért az NM-módszer egy függvény: , ahol egy kizárólag 1-esekből álló, méretű sor-vektor, míg egy kizárólag 1-esekből álló, méretű oszlop-vektor.
Az NM-módszert Naszodi és Mendonca (2023) fejlesztette ki (és először Naszodi és Mendonca (2019) alkalmazta) olyan kontingenciatáblázat transzformálási problémákra, ahol a mátrix nem a keresett mátrix által reprezentált populációból vett mintát, hanem egy attól eltérő populációt reprezentál.
Az alkalmazásukkal a végzettség szerinti homofília erősségének generációk közötti változását számszerűsítették és ezáltal a különböző végzettségű csoportok közötti társadalmi egyenlőtlenség historikus változását mérték meg az USA-ra 1980 és 2010 között. Az egyenlőtlenség trendjét U-alakúnak találták, ami azt a nézetet erősíti, hogy megfelelő társadalom- és gazdaság-politikával az egyenlőtlenség mérsékelhető.
A mátrixok rangsorának definíciója Két azonos méretű mátrix "közelsége" többféleképpen definiálható. Az euklideszi távolság és a Kullback-Leibler divergencia két jól ismert példa.
Az NM-módszer egy harmadik, a Liu-Lu ordinális indexen alapuló definícióval áll összhangban, ahol a Liu-Lu index a Coleman-index kissé módosított változata (lásd Coleman (1958)-ös tanulmányának (15)-ös egyenletét). A meghatározás szerint akkor áll az mátrix a mátrixhoz legközelebb, ha a Liu-Lu értékeik megegyeznek. Más szóval, ha az és mátrixok azonos rangsorolásúak a Liu-Lu ordinális index alapján.
Ha egy 2-szer-2-es méretű mátrix, akkor a Liu-Lu index skalár-értékű és így definiált:
, ahol ; ; ; ; .
Coleman (1958) nyomán ezt az indexet úgy értelmezhetjük, mint a „ténylegesen felvett érték mínusz a várható érték osztva a maximálisan felvehető érték mínusz a minimálisan felvehető érték”, mivel a magtáblázat -helyén felvett tényleges értékét jelöli; az ugyanezen helyen felvett érték várható értékét (illetve annak egészrészét) jelöli azon tényellentétes feltételezés mellett, hogy a mátrix sor- és oszlop-összegei előre meghatározottak, míg a mátrix belső elemei véletlenszerűek. a magtáblázat -helyén felvehető érték minimális értéke is egyben, feltéve, hogy a magtáblázat sor- és oszlop-változója közötti asszociáció nem-negatív. Végül, a maximális értéke adott sor-összeg () és oszlop-összeg () vektorok mellett.
A Liu-Lu indexet Naszodi és Mendonca (2023) általánosította arra az esetre, amikor mérete (, ). Az általánosított Liu-Lu index mátrix-értékű. Az általánosítás egyik előfeltétele, hogy a mátrix sor- és oszlop-változója rendezett legyen. Ugyanis a és az mátrixok mátrix-értékű Liu-Lu indexei csak úgy tehetők egyenlővé, hogy dichotomizáljuk a rendezett sor- és oszlop-változóikat módon, melynek során kihasználjuk a rendezettségüket. Majd az így kapott 2-szer-2-es mátrixok skalár-értékű Liu-Lu indexeit tesszük egyenlővé. Formalizálva: minden egyes párra (ahol , és ) kikötjük, hogy , ahol az alábbi méretű mátrix melynek az méretű, a méretű. Hasonlóképpen, a egy méretű mátrix, amely az alábbi mátrix transzponáltjaként áll elő: , amelynek méretű, méretű.
A sorösszegekre és az oszlopösszegekre vonatkozó megkötések A keresett matrixnak nem csak az megkötést, hanem a sor- és oszlop-összegekre vonatkozó megkötéseket is teljesíteni kell, azaz: és .
Megoldás Feltéve, hogy teljesül minden párra (ahol , és ), az mátrixra vonatkozó megoldás egyértelmű, determinisztikus, és egy zárt formájú képlettel megadható.
A méretű és mátrixokra a megoldás:
.
Az mátrix további 3 cellájában lévő értékeket pedig egyértelműen megadják a sor- és az oszlop-összegekre vonatkozó megkötések. Tehát így működik az NM-módszer -es táblázatokra.
Ha azonban az , és mátrixok (, ) méretűek, akkor először a rendezett értékű sor- és oszlop-változókat minden lehetséges módon dichotomizálnunk kell, mielőtt megoldunk számú -es formátumú feladatot. Egy tetszőleges párra (ahol és ) a feladatokat egyfelől a megkötés, másfelől a sor- és oszlop-összegekre vonatkozó megkötések definiálják: , és . Minden egyes feladatot külön-külön meg kell oldani a fenti képlettel. A megoldások meghatározzák az mátrix darab cella-értékét. Míg a maradék cella-értéket a sor- és oszlop-összegek határozzák meg.
Ezután azt nézzük meg, hogy alkalmazható-e az NM-módszer, ha a mátrix nem teljesíti azt az előfeltételt, hogy párra .
Ennek egyik alesete, ha párra . Ekkor a megoldás szintén egyértelmű, determinisztikus, és zárt formájú képlettel adott. A mátrix-rangsor fogalma azonban kissé eltér a fentebb tárgyalttól. Liu és Lu (2006) így definiálja azt , ahol ; az a legkisebb egész szám, amely nagyobb vagy egyenlő, mint .
Végül ha van olyan pár is, amelyre , és olyan pár is, amelyre, akkor sem az NM-módszer, sem nem definiált.
Egy számpélda Tekintsük az alábbi , amelyet kiegészítettünk annak sor- és oszlop-összegeivel, valamint a (azaz az mátrix sor-összegeivel) és (azaz az mátrix oszlop-összegeivel): Z 1 2 3 4 ÖSSZES CÉL 1 240 2 235 3 185 4 140 ÖSSZES 210 230 185 175 800 CÉL 1000 Az NM-módszer első lépéseként a megszorozzuk az egyes (, és ) párokhoz tartozó , és mátrixokkal. Szorzatként a következő 9 darab -es méretű mátrixot kapjuk (ahol a cél-sor- és cél-oszlop-összegeket is feltüntettük): ++ 12ÖSSZESCÉL1120120240400290470560600ÖSSZES210590800CÉL4006001000+12ÖSSZESCÉL119050240400225030560600ÖSSZES440360800CÉL700300100012ÖSSZESCÉL1220202404002405155560600ÖSSZES625175800CÉL900100100012ÖSSZESCÉL1170305475700240285325300ÖSSZES210590800CÉL400600100012ÖSSZESCÉL13401354757002100225325300ÖSSZES440360800CÉL700300100012ÖSSZESCÉL1420554757002205120325300ÖSSZES625175800CÉL900100100012ÖSSZESCÉL1200460660850210130140150ÖSSZES210590800CÉL400600100012ÖSSZESCÉL1410250660850230110140150ÖSSZES440360800CÉL700300100012ÖSSZESCÉL15659566085026080140150ÖSSZES625175800CÉL9001001000 A következő lépés az általánosított mátrix-értékű Liu-Lu index kiszámítása , (ahol ) alkalmazva az eredeti skalár-értékű Liu-Lu index képletét mind a 9 mátrixra: 0,39 0,54 0,62 0,53 0,44 0,47 0,73 0,61 0,45 Amint az látható, az mátrix pozitív, ezért az NM-módszer definiált. A 9 darab 2-szer-2-es feladat megoldása az mátrix 9 cella-értékét határozza meg. A maradék 7 cella értékét pedig a cél-sor-összegek és a cél-oszlop-összegek alapján tudjuk kiszámolni. A megoldás: 1 2 3 4 ÖSSZES 1 253,1 91,4 40,5 15,1 400 2 91,1 147,1 39,8 21,9 300 3 39,6 36,8 64,2 9,3 150 4 16,2 24,7 55,5 53,6 150 ÖSSZES 400 300 200 100 1000
Egy további numerikus példa, amely Abbott és szerzőtársaitól (2019) származik
Tekintsük a következő kiegészítve annak sor- és oszlop-összegeivel, valamint a ( mátrix sor-összegei) és a ( mátrix oszlop-összegei): Z 1 2 3 ÖSSZES CÉL 1 1360 2 5840 3 2800 ÖSSZES 1 390 5 670 2 940 10 000 CÉL 10 000
Az NM-módszer első lépéseként a megszorozzuk az egyes (, és ) párokhoz tartozó , és mátrixokkal. Ez a következő 4 darab 2-szer-2-es mátrixot eredményezi (kiegészítve a cél-sor- és a cél-oszlop-összegekkel): ++ 1 2 ÖSSZES CÉL 1 1 070 290 1 360 1 600 2 320 8 320 8 640 8 400 ÖSSZES 1 390 8 610 10 000 CÉL 1 390 8 610 10 000 + 1 2 ÖSSZES CÉL 1 1 340 20 1 360 1 600 2 5 720 2 920 8 640 8 400 ÖSSZES 7 060 2 940 10 000 CÉL 7 060 2 940 10 000 1 2 ÖSSZES CÉL 1 1 370 5 830 7 200 7 500 2 20 2 780 2 800 2 500 ÖSSZES 1 390 8 610 10 000 CÉL 1 390 8 610 10 000 1 2 ÖSSZES CÉL 1 6 620 580 7 200 7 500 2 440 2 360 2 800 2 500 ÖSSZES 7 060 2 940 10 000 CÉL 7 060 2 940 10 000 A következő lépés az általánosított mátrix-értékű Liu-Lu index kiszámítása , (ahol ) alkalmazva az eredeti skalár-értékű Liu-Lu index képletét mind a 4 mátrixra: 0,75 0,95 0,95 0,78 Látható, hogy az mátrix pozitív. Ezért az NM-módszer definiált. A 4 darab 2-szer-2-es feladat megoldása az mátrix 4 cella-értékét határozza meg. A többi 5 cella-értéket pedig a cél-sor- és a cél-oszlop-összegek alapján számolhatjuk ki. A megoldás a következő mátrix: 1 2 3 ÖSSZES 1 1 101 476 24 1 600 2 271 4 819 809 5 900 3 18 375 2 107 2 500 ÖSSZES 1 390 5 670 2 940 10 000
Implementáció Az NM-módszer Excelben, Visual Basicben, R-ban és Statában érhető el leprogramozva. Alkalmazások Az NM-módszer különféle jelenségek tanulmányozására alkalmazható, beleértve az assortatív párválasztást, a generációk közötti mobilitást, mint a társadalmi mobilitás egy fajtáját, a lakóhely szerinti szegregációt, a munkaerő-toborzást, és a tehetséggondozást.
Mindezen alkalmazásokban az , , és mátrixok a párokba rendezett entitások (pl. férjek és feleségek, vagy elsőszülött gyermekek és anyák, lakások és főbérlők, vagy vezérigazgatók és cégek, vagy sakkoktatók és legtehetségesebb tanítványaik) együttes eloszlásait reprezentálják, amelyeket vagy egy dichotóm kategorikus változó jellemez (pl. vegetáriánus/nem vegetáriánus, nagymester/nem nagymester), vagy egy rendezett multinomiális kategorikus változó (pl. végső iskolai végzettség szintje, a sítudás szintje, jövedelmi kategória, bérleti díj kategória, hitelminősítés, FIDE címek). Bár az NM-módszer széles körben alkalmazható, a következőkben bemutatásra kerülő példák mindegyike az iskolai végzettség szerinti asszortatív párválasztásról szól. Ezen alkalmazások esetén ugyanis az NM-módszer alkalmazhatóságának két előfeltétele (a rendezett-értékű tulajdonság-változó, és a minden oktatási csoportra jellemző pozitív assortatív párválasztás) nem vitatott.
Tegyük fel, hogy a és az mátrixok jellemzik a zalaegerszegi, valamint a yorki férjek és feleségek együttes iskolázottsági megoszlását, rendre. Az NM-módszerrel konstruálandó mátrix azt mondja meg, hogy mi lenne a párok együttes végzettség-eloszlása Zalaegerszegen, ha a házasulandó férfiak és nők iskolai végzettsége megegyezne a yorkiakéval, miközben a homogámia iránti általános vágy (vagy közgazdasági szóhasználattal élve, az aggregált házassági preferenciák, avagy szociológiai szóhasználattal élve, a házasodási társadalmi norma) változatlan maradna.
Egy második alkalmazásban a és mátrixok ugyanazt az országot két különböző évben jellemzik. A mátrix jellemzi az olyan frissen házasodott amerikaiak együttes iskolázottsági eloszlását 2040-ben, ahol a férjek a Z-generációba tartoznak, és a megfigyelés évében (2040-ben) fiatal felnőttek. Az mátrix annyiban tér el a mátrixtól, hogy az a 2024-ben megfigyelt Y-generációt jellemzi. Az mátrix megkonstruálásával azt lehet majd tanulmányozni a jövőben, hogy a frissen házasodott amerikai fiatal párok iskolai végzettség szerinti együttes eloszlása milyen lenne, ha az érintettek ugyanúgy szeretnének majd házasodni, mint a Z-generációs férfiak és partnereik, miközben az iskolai végzettségük az Y-generációba tartozó férfiak és partnereik végzettségével azonos.
Egy harmadik alkalmazásban a és mátrixok ismét ugyanazt az országot jellemzik, de két különböző évben. Ebben az alkalmazásban a mátrix a portugál fiatal párok (ahol a férfi partnerek életkora 30 és 34 év közötti) együttes végzettség szerinti elosztását mutatja 2011-ben. ugyancsak egy végzettség szerinti elosztást mutat, de az 1981-ben megfigyeltet. Az mátrix megkonstruálásának ebben az esetben az lehet a célja, hogy tanulmányozzuk, milyen lett volna a portugál fiatal párok iskolai végzettsége, ha a 2011-ben fiatal társaikhoz hasonlóan rendeződtek volna párokba, miközben a nemenkénti iskolai végzettségük megegyezett volna az 1981-essel.