A Hamel-dimenzió a lineáris algebrában használatos dimenziófogalom, amely azt próbálja megragadni, hány egymástól független irány létezik. Informálisan egy tér Hamel-dimenziója n, ha legalább ennyi irány szükséges ahhoz, hogy csak ezekben az irányokban (előre vagy hátra) mozogva a tér bármely pontjába eljuthassunk.
Definíció
Egy V vektortér dimenziója tetszőleges bázisának elemszáma, számossága. Ennek jogosságát az a tétel biztosítja, miszerint bármely két bázis azonos számosságú. Jelölés . Definíció alapján, ha V={0}, azaz a 0 tér esetén a dimenzió 0.
Ha a kiválasztási axióma teljesül, akkor minden vektortérnek van bázisa; ha gyengébb változata, az ultrafilter-lemma teljesül, akkor egy vektortér minden bázisa azonos számosságú. Ez alapján a definíció végtelen dimenziós vektorterekre is konzisztens.
Példák
a közönséges térvektorok vektortere 3 dimenziós, ezek között bármely két, origó kezdőpontú, nem párhuzamos vektor kifeszít egy kétdimenziós alteret, síkot. Fn dimenziója n, míg Fn × k-é nk. a legfeljebb k-adfokú polinomok k+1 dimenziós alteret feszítenek ki. az F feletti polinomok vektortere megszámlálhatóan végtelen dimenziós. a valós függvények tere kontinuum dimenziós.
Tulajdonságok
Ekvivalens feltételek V ≠ 0 vektortér, n ∈ N+ dim V = n V-ben a maximálisan független vektorok száma: n V-ben a minimális generátorrendszer n elemű.
Altér dimenziója
Ha vektortér, , akkor . Véges dimenziós vektortérre, ha , akkor .
Rang
Az a1,…,an vektorrendszer rangja r, ha az n vektor között a maximálisan független vektorok száma r.
Tulajdonságok
Az a1,…,an vektorok által generált altér dimenziója
Lásd még
Lineáris leképezés Tenzor
Kategória:Lineáris algebra