300px|jobbra Egy háromszög akkor egyenlő oldalú, avagy szabályos, ha mindhárom oldala, illetve minden szöge egyenlő. A szabályos sokszögek közé tartozik. Az összes egyenlő oldalú háromszög hasonló egymáshoz. Az egyenlő oldalú háromszögek forgásszimmetrikusak (120 fokos, illetve ennek többszöröseivel való középpont körüli forgatások számára), illetve tengelyesen szimmetrikus is, az oldalfelező merőlegesekkel, mint tengelyekkel. Mivel a háromszög szögösszege 180 fok, azért az egyenlő oldalú háromszög minden szöge 60 fokos, ezzel a hegyesszögű háromszögek közé tartozik. Az euklideszi sík parkettázható egyenlő oldalú háromszögekkel. Az egyenlő oldalú háromszögek egyenlő szárúak is, ahol bármely oldal tekinthető alapnak. Szimmetriacsoportja a D3 diédercsoport.
Képletek Az egyenlő oldalú háromszög megadható egy oldalával, vagy például magasságával. Matematikai képletek az egyenlő oldalú háromszöghözTerület300pxKerület OldalhosszSzögek MagasságA beírt kör sugara A köréírt kör sugara
Szerkesztések Az egyenlő oldalú háromszög ismert szerkesztése abból indul ki, hogy a háromszög oldalhosszával adott. Ekkor alapként felveszi az oldalhosszat, majd körzővel mindkét végpontból ugyanezzel a körzőnyílással húz egy-egy körívet, melyek közös metszéspontja a háromszög harmadik csúcsa.
Ha ehelyett a háromszög a körülírt körével van adva, akkor húzunk egy egyenest a kör középpontján keresztül. Ez a kört két pontban metszi, ezek C és D. Ekkor a köréírt kör sugarával a D pontból húzott körívekkel elmetsszük a körívet, így kapjuk a háromszög A és B csúcsát, melynek harmadik csúcsa a C pont.Johannes Kepler: Weltharmonik. übersetzt und eingeleitet von Max Caspar. 1939, XXXVIII. Satz: Seiten des Dreiecks …, S. 37. (Neuauflage: Verlag R. Oldenbourg, München 2006. )
Nevezetes pontok thumb|hochkant=1.3|Az egyenlő oldalú háromszög öt nevezetes pontja
Az egyenlő oldalú háromszögben a magasságvonalak, az oldalfelező merőlegesek, a szögfelezők és a súlyvonalak mind egyetlen pontban találkoznak. Ez a pont a magasságokat arányban osztja, így . Ahogy a kép mutatja, a Feuerbach-kör középpontja (világoskék) megegyezik a beírt kör középpontjával, és mindkettő sugara Tételek Ha egy tetszőleges háromszög oldalaira egyenlő oldalú háromszögeket emelünk, akkor azok súlypontjai egy újabb egyenlő oldalú háromszöget határoznak meg, az úgynevezett Napóleon-háromszöget. Ez a Napóleon-tétel.
Morley tétele szerint egy bizonyos szerkesztéssorozattal bármely háromszögből elindulva szintén egyenlő oldalú háromszög kapható, a Morley-háromszög.
A Viviani-tétel szerint egy egyenlő oldalú háromszögben egy pont oldalaktól mért távolságainak összege megegyezik a háromszög magasságával.
A Möbius–Pompeiu-tétel szerint, ha adva van egy egyenlő oldalú háromszög és rajta kívül egy pont, ami nincs a háromszög körülírt körén, akkor a pont távolsága a háromszög csúcsaitól teljesíti a háromszög-egyenlőtlenséget. A van Schooten-tétel szerint ha a pont a háromszög körülírt körén található, akkor a két rövidebb szakasz összege megegyezik a leghosszabb szakasz hosszával. Platón egyenlő oldalú háromszöge thumb|270px|Platón egyenlő oldalú háromszöge, animáció 12 képpel thumb|200px|Platón egyenlő oldalú háromszöge, 6 egybevágó derékszögű háromszögből felépítve Platón a Timaiosban (53b-56c) leírta azokat a szabályos sokszögeket, melyek a platóni testek oldalai lehetnek. A sokszögek közül nevezetesnek tartotta az egyenlő oldalú háromszöget, ami közvetlenül jelen van a tetraéderben, az oktaéderben és az ikozaéderben, és virtuálisan a dodekaéder ötszöglapjain; illetve a derékszögű egyenlő oldalú háromszöget, ami virtuálisan jelen van a kocka négyzetlapjain.
Platón szerint a derékszögű egyenlő oldalú háromszögek mind hasonlók egymáshoz, ami nem teljesül a nem egyenlő oldalú derékszögű háromszögekre. Kiemeli azokat a derékszögű háromszögeket, melyek szögei ; ezeket is nevezetesnek tekinti.
Ha tehát választunk egy háromszöget, melynek befogói és , és átfogója , akkor teljesítjük Platón fenti feltételét. Hat ilyen háromszögből egy oldalú egyenlő oldalú háromszög építhető.
Egy ilyen háromszög szerkeszthető kilenc egységsugarú körrel, három hosszú egyenes vonallal, és hosszú oldalfelező merőlegessel. Koordináta-rendszerben Középpont thumb|hochkant=1.5|Példa: és
Legyen , és egyenlő oldalú háromszög, és legyen az középpont az oldalfelező merőlegesek, a szögfelezők és a magasságok metszéspontja. Ekkor koordinátái:
Példa: Adva legyen , és Keressük:
. Így . Harmadik csúcspont thumb|hochkant=1.5|Példa: és Ha adva van egy egyenlő oldalú háromszög két csúcsa, akkor a harmadik csúcs koordinátái kiszámíthatók. A harmadik csúcsra két, tükörszimmetrikus lehetőség adódik, ahol a tükrözés tengelye a két adott csúcs által megadott egyenes. Adva: és Keresett:
Példa: Adva: és Keresett: és
.
. Ezzel , .
Parkettázások egyenlő oldalú háromszöggel Platóni és arkhimédészi parkettázások tartalmaznak egyenlő oldalú háromszöget. Ezek periodikus, forgásszimmetrikus és eltolásszimmetrikus parkettázások, és csak szabályos sokszögeket tartalmaznak.
A számok azt mutatják, hogy hány csúcsú szabályos sokszögek találkoznak egy-egy pontban. A belső szögek összege mindig 360 fok. Átdarabolás két szabályos hatszöggé thumb|200px|Ábra a bizonyításhozthumb|427px|Egy egyenlő oldalú háromszög átdarabolása két szabályos hatszöggé Az egyenlő oldalú háromszögek hasonlóak egymáshoz, emiatt az általánosság korlátozása nélkül feltehető, hogy a vizsgált egyenlő oldalú háromszög oldalhossza egységnyi. Ez a háromszög felbontható 12 egybevágó egyenlő szárú háromszögre, melyekből két, oldalú szabályos hatszög rakható össze.
Az elemi átalakításokkal következik a
kifejezésből.Eckard Specht, Erhard Quaisser, Patrick Bauermann (Hrsg.): 50 Jahre Bundeswettbewerb Mathematik - Die schönsten Aufgaben Zweite, erweiterte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2020, , S. 135–139 Spirálok thumb|hochkant=1|2. ábra A piros spirálterület mértéke a kiindulási háromszög harmada thumb|hochkant=1|1. ábra A piros vonalspirál hossza megegyezik a kiindulási háromszög oldalhosszával
Adva legyen egyenlő oldalú háromszögeknek egy olyan sorozata, hogy egy háromszögnek a -edik a középvonalai által meghatározott háromszöge. Az arányosságra hivatkozva feltehető, hogy oldalhossza 1. Ekkor:
Vonalspirál: Hogyha a háromszög oldalhosszának fele, akkor mértani sor, ahol a képzési szabály és a határérték .
Területspirál: Hogyha a háromszög területének negyede, akkor mértani sor, ahol a képzési szabály és a határérték: .
A és sorok geometriailag spirálként ábrázolhatók.Hans Walser: Spiralen, Schraubenlinien und spiralartige Figuren - Mathematische Spielereien in zwei und drei Dimensionen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2022, , Seiten 67–69 Poliéderek egyenlő oldalú háromszögekkel Néhány poliédert egyenlő oldalú háromszögek határolnak, így például a szabályos tetraéder, oktaéder és ikozaéder. A platóni testek közül ezeket határolják szabályos háromszögek. Az arkhimédészi testek közül a pisze kocka és a pisze dodekaéder felszíne tartalmaz szabályos háromszögeket. Deltaédernek nevezik azokat a poliédereket, amelyeket csak egyenlő oldalú háromszögek határolnak.
Jegyzetek
Források
Fordítás
Kategória:Háromszögek