A Bretschneider-formula egy geometriai összefüggés, mely a négyszögek területe és oldalaik hossza, és két szemközti szögük közötti összefüggést adja meg.
Bretschneider-formula bélyegkép|jobbra Tétel ahol a, b, c, és d a négyszög oldalai, s a félkerület, pedig két szemközti szög összegének fele. Bizonyítás Az ABCD négyszög területe a BD átló által meghatározott két háromszög területének összegével írható fel:
A koszinusz tételt alkalmazva:
Adjuk össze az előbbi és a területegyenletet:
Az egyenlet átalakítható:
Bevezetve a félkerületet és a szöget:
■
Speciális esetek Húrnégyszögek (Brahmagupta-tétel) bélyegkép|jobbra A Bretschneider-formula egyik leggyakoribb felhasználása a húrnégyszögek területének kifejezése oldalaik hosszának, és a húrnégyszög félkerületének segítségével. Tétel ahol a, b, c, és d a húrnégyszög oldalai, s pedig a félkerület. Bizonyítás Az ABCD húrnégyszög területe a BD átló által meghatározott két háromszög területének összegével írható fel:
Mivel ABCD húrnégyszög, és és szemközti szögek: , tehát
Alkalmazva a koszinusz tételt az ABD és a BCD háromszög DB oldalára:
Ezt behelyettesítve a terület egyenletbe:
Bevezetve a félkerületet:
■
Háromszögek (Hérón-képlet) bélyegkép|jobbra
Tétel ahol a, b, és c a háromszög oldalai, s pedig a félkerület.
Bizonyítás Az állítás következik a húrnégyszögekre bebizonyított alakból, ha a háromszöget olyan elfajult húrnégyszögnek tekintjük, melynek két csúcsa egybeesik.
Kategória:Négyszögek