thumb|Ábra a Menelaosz-tételhez
A Menelaosz-tétel a síkgeometria egyik alapvető állítása. Megnevezését alexandriai Menelaosz ógörög matematikusról kapta, ugyanis a tétel legkorábbi ismert említése az ő gömbháromszögekről szóló művében található meg – ennek segítségével bizonyítja be a tétel gömbi (szférikus) változatát. Tétel A Menelaosz-tétel szerint, ha egy tetszőleges háromszög oldalegyeneseire illeszkedő pontok a háromszög csúcsaitól különböznek és egy egyenesen vannak (kollineárisak), akkor
.
A tétel fordítottja általánosságban nem igaz. Csak abban az esetben igaz, ha az pontok pontokról tudjuk, hogy közülök páros sok található a háromszög oldalain (azaz vagy kettő, vagy egy sem), továbbá teljesül rájuk az összefüggés, akkor E, M, N egy vonalra illeszkednek (kollineáris helyzet).
Az előbbieket magába foglaló kétirányú állítás, melyre ugyancsak Menelaosz-tétel néven szoktak hivatkozni, a következőképpen szól: Egy tetszőleges háromszög oldalegyeneseire illeszkedő pontok akkor és csak akkor kollineárisak, ha
. Itt szakaszok helyett irányított szakaszokról van szó.Ha X, Y és Z kollineáris pontok, akkor thumb|A Menelaosz-tétel bizonyítása
A direkt irányú állítás bizonyítása Az oldallal párhuzamost húzunk -ből, ez az egyenest egy pontban metszi. Ekkor két hasonlóságot is felírhatunk: , valamint . (Belátható a feltevések alapján, hogy valóban van értelme ezen háromszögekről beszélni.)
A kapott aránypárokat összeszorozva kapjuk, hogy .
A fordított irányú állítás bizonyítása Indirekt módon igazolható.
Források
További információk
Kategória:Geometriai tételek Kategória:Háromszögek