A háromszög-egyenlőtlenség a geometria egyik legalapvetőbb tétele, megállapítható segítségével, hogy három szakaszból lehet-e háromszöget szerkeszteni.
Az egyenlőtlenség tovább általánosítható valós és komplex számokra, összegzésekre, integrálokra és különböző terekre. Itt a hosszak szerepét abszolútértékek és különféle normák veszik át. Leginkább becslésekben használják a matematika több területén is.
A tétel Egy háromszögben két oldal hosszának az összege nagyobb, mint a harmadik oldal hossza. Azaz: és és .
A tétel ekvivalens alakja: , és
Bizonyítás:
Fájl:hszegy.JPG
-t elég bizonyítani. Hosszabbítsuk meg az oldalt, és felmérjük a távolságot a meghosszabbított félegyenesre, így kapjuk a szakaszt. háromszög egyenlő szárú, ekkor szög = szög. az szög belsejében halad, ekkor szög > szög = szög, így . Ez viszont éppen a tételben szereplő .
Metrikus interpretáció
A háromszög-egyenlőtlenség biztosítja, hogy a kétdimenziós (általánosabban, az n dimenziós) euklideszi tér tetszőleges három A,B,C pontjára igaz legyen, hogy bármely kettő pár egymástól mért távolságainak összege nagyobb, mint a harmadik pár közt mért távolsága: AB+BC≥AC BC+CA≥BA CA+AB≥BC
Ezt a tényt úgy is interpretálhatjuk, hogy "két pont között a legrövidebb út az egyenes", mert a háromszög-egyenlőtlenség egy speciális esete e kijelentésnek, míg utóbbi következménye az előbbinek.
A háromszög-egyenlőtlenség e változata megenged elfajult háromszögeket, amikor is néhány háromszögcsúcs vagy -oldal illeszkedik egymásra.
A tétel általánosításai Valós számokra Valós számokra:
Bizonyítás:
Mivel az egyenlőtlenség mindkét oldala nem negatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás:
Mindkét oldalból kivonva az azonos tagokat:
és ez mindig teljesül, mert
minden -re.
Valós számokra önállóan is belátható a háromszög-egyenlőtlenség kivonásos alakja:
Nyilván
Az
helyettesítéssel
Viszont, ha
akkor
Az előző két egyenlőtlenséget összetéve
y helyére -y-t téve
Összefoglalva
minden -re. Bizonyítás esetszétválasztással Ha , valós számok, akkor
Bizonyítás: Az , valós számokra vagy , vagy teljesül. Az első esetben , és az összeg és miatt felülről becsülhető -kel. Együttvéve teljesül .
Ha , akkor , és szintén becsülhető felülről -kel, hiszen és . Így ebben az esetben is fennáll. A háromszög-egyenlőtlenség megfordítása A háromszög-egyenlőtlenség szerint Az helyettesítéssel
A helyettesítéssel
Ha , valós számok, és , , akkor ; így
Elvégezve az helyettesítését -nal, kapjuk, hogy
Együttvéve minden
Komplex számokra Komplex számokra a háromszög-egyenlőtlenség:
Bizonyítás:
Mivel egyik oldal sem lehet negatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás:
ahol a felülvonás a komplex konjugálást jelenti. A két oldalról eltávolítva az egyenlő tagokat, és a helyettesítést elvégezve
A z komplex szám algebrai alakja legyen . Ezzel
és
ami és a valós négyzetgyökfüggvény monotóniája miatt mindig fennáll.
A valós esethez hasonlóan látható be a kivonásos alak is
minden -re. Összegekre és integrálokra A háromszög-egyenlőtlenség többszöri alkalmazásával és teljes indukcióval
ahol az számok lehetnek valósak, vagy komplexek.
Integrálokra: Legyen az függvény Riemann-integrálható, ahol egy intervallum!
Ekkor
.Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. 8. kiadás. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, . Satz 85.1
Hasonlók teljesülnek komplex értékű függvényekre is:
.Walter Rudin: Real and Complex Analysis. MacGraw-Hill 1986, . Theorem 1.33
Ekkor ugyanis van egy komplex úgy, hogy és .
Mivel
valós, ezért szükségképpen egyenlő nullával.
Emellett
,
összetéve tehát
. Vektorokra Vektorokra:
.
Négyzetre emeléssel:
,
és a Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség felhasználásával:
.
Innen, mint a valós esetben:
és
Gömbháromszögekre thumb|Két általános gömbháromszög A gömbháromszögek körében a háromszög-egyenlőtlenség azokra a háromszögekre korlátozódik, amiknek egyik oldala sem nagyobb egy fél főkörívnél, azaz a < π, b < π és c < π. Általános gömbháromszögekre a tétel nem igaz.
Ahogy az ábra mutatja:
de , ahol még az is igaz, hogy Normált terekben Az normált térben a háromszög-egyenlőtlenség ezt az alakot ölti:
és megkövetelik, hogy a tér az adott normával ezt az egyenlőtlenséget azonossággal teljesítse.
Ebből
és
minden -re.
Speciálisan, az Lp-terekben a háromszög-egyenlőtlenséget Minkowski-egyenlőtlenségnek nevezik, és a Hölder-egyenlőtlenséggel bizonyítják. Metrikus terekben Az metrikus térben a háromszög-egyenlőtlenség ezt az alakot ölti:
és megkövetelik, hogy a tér az adott d távolságfüggvénnyel ezt az egyenlőtlenséget azonossággal teljesítse.
Innen következik
és
a tér tetszőleges elemeire.
Jegyzetek
Források Obádovics J. Gyula: Matematika Fordítás
Egyenlőtlenség Kategória:Geometriai egyenlőtlenségek Kategória:Metrikus geometria