A Simpson-egyenes a háromszög-geometria egyik alakzata. Ha egy pontból az háromszög oldalaira bocsátott egyenesek talppontjai egy egyenesre esnek, akkor ez az háromszög pólushoz tartozó Simpson-egyenese. Ha a körülírt kör középpontja, akkor ez a helyzet áll fenn.
A Simpson-egyenest tévesen nevezték el Robert Simson (1687–1768) után, aki munkáiban egyáltalán nem foglalkozott a témával. Valójában William Wallace (1768–1843) fedezte fel 1797-ben.H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Simson Lines. § 2.5 in Geometry Revisited. In: Math. Assoc. Amer., Washington DC 1967, S. 41. A háromszög köré írt körének középpontja Tétel: A háromszög köré írt kör tetszőleges pontjának az oldalegyenesekre eső merőleges vetületei egy egyenesbe esnek, ez az egyenes a Simson-egyenes.
Bizonyítás:
Kép:simson.JPG
húrnégyszög .
húrnégyszög (-nél és -nél lévő szögei derékszögek) .
húrnégyszög, mert ( derékszögű) .
húrnégyszög (, -nél fekvő szögek derékszögűek) ; derékszögű: (két oldal és közbezárt szög – váltószögek) a többi szög is azonos.
(váltószögek), így egy egyenesbe esnek az , , pontok. További tulajdonságok Nevezetes párhuzamosok thumb|150px|A Simson-egyenes párhuzamos az AGBC, BGAC és CGAB egyenesekkel Egy háromszög minden Simson-egyeneséhez három nevezetes párhuzamos tartozik, melyek a háromszög egy-egy csúcsán haladnak át. Pontosabban:
Adva legyen az háromszög, és adva legyen egy pont a háromszög köré írt körén. Legyen a pontból az oldalra bocsátott merőleges metszéspontja a háromszög köréírt körével GAB; ekkor a CGAB egyenes párhuzamos a Simson-egyenessel. A Simson-egyenes, mint szögfelező thumb|150px| Adva legyen az háromszög, a pont annak körülírt körén, és a hozzá tartozó Simson-egyenes. Ha az háromszög magasságpontja, és a Simson-egyenes a szakaszt a pontban metszi, akkor . Ekkor a Feuerbach-körön található. Egyenessereg thumb|150px|Simson-egyenesek, mint egy hipocikloid burkolója Ha a pont bejárja a háromszög köré írt körét, akkor a Simson-egyeneseket egy hipocikloid burkolja. Egyéb tulajdonságok Ha két háromszögnek ugyanaz a köré írt köre, akkor az ugyanahhoz a pólushoz tartozó Simson-egyenesek metszési szöge független a pólustól. Más szavakkal, a két háromszög közös körülírt körén az ugyanahhoz a ponthoz tartozó Simson-egyenesek mindigy ugyanazon szög alatt metszik egymást.
A Simson-egyenes, illetve egy rajta kijelölt szakasz felfogható egy pont talpponti háromszögének. Bocsássunk merőlegeseket egy adott pontból egy háromszög oldalaira; ezek a pontok általában háromszöget alkotnak, a pont talpponti háromszögét. Ha a ponttal a körülírt körhöz közelítünk, akkor a pont talpponti háromszöge egy szakaszba megy át a Simson-egyenesen.
Külső hivatkozások Bizonyítás angolul, lépésről lépésre Jegyzetek
Források Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, , S. 170–172. H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie. Klett, Stuttgart 1983. Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, , S. 137 ff., 206 ff., 243, 251 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry). Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, S. 43–48, 82–83, 121, 128–136.
Fordítás
Kategória:Háromszögek