thumb|250x250px|Érintőnégyszög ábrázolása. Az oldalakra állított merőlegesek négy deltoidra osztják az érintőnégyszöget. Az érintőnégyszög olyan konvex négyszög, amelynek oldalai egyazon kör érintői (más szóval van beírt köre). Az érintősokszög speciális esete.
Érintőnégyszög például a négyzet, a rombusz és a konvex deltoid. Ha egy érintőnégyszög egyben húrnégyszög is, akkor bicentrikus négyszögnek nevezzük.
Az érintőnégyszög-tétel (ld. lentebb) a definíciónál egyszerű kritériumot ad arra nézve, hogy egy négyszög mely esetben érintőnégyszög. Nevezetesen, egy négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha szemközti oldalainak összege egyenlő.
Az érintőnégyszög területe , ahol a, b, c és d az oldalak hossza, és r a beírt kör sugara. A bicentrikus négyszög területe: .
Szögfelezők Egy érintőnégyszögben a szögfelezők a beírt kör középpontjában metszik egymást, és fordítva, ha egy négyszög szögfelezői egy pontban metszik egymást, akkor az érintőnégyszög.
Érintőnégyszög-tétel Bármely érintőnégyszögben a két-két szemközti oldal hosszának összege egyenlő: , ahol a félkerület.
Következmény A négyszöget a kör középpontjából háromszögekre bontva adódik, hogy . Ebből és a Bretschneider-formulából , ahol és az átlók hossza.
A tétel megfordítása
Ha egy konvex négyszögben két-két szemközti oldal hosszának összege egyenlő, akkor az érintőnégyszög.
A tétel bizonyítása A körhöz húzott érintő pontból húzott érintőszakaszok egyenlőek (érintő és szelőszakaszok tétele), vagyis és .
A tétel megfordításának bizonyítása
Indirekt bizonyítjuk:
Tegyük fel, hogy fennáll, de a négyszög nem érintőnégyszög. Legyen a leghosszabb oldal, ekkor és összetartó egyenesek. Ha van két egyenlő hosszúságú oldal ( és ), akkor nem helyezkedhetnek el egymással szemben a feltétel miatt, miszerint hosszabb a másik két oldalnál. Az oldal és a illetve oldal felé történő meghosszabbítása által meghatározott háromszög egyértelműen meghatároz egy kört. Tegyük fel, hogy nem érinti -t.
Ekkor két eset van:
1) metszi -t
vagy
2) -nek és -nak nincsen közös pontja
Mozgassuk el egyenesét párhuzamosan úgy, hogy érintse -t. Ekkor érintőnégyszög mindkét esetben.
1)-nél , de ekkor nem lenne igaz a feltevés, vagyis ellentmondáshoz jutottunk.
2)-nél ugyanígy ellentmondás, mivel .
Átlók beírt körei Egy konvex négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha az átlói által meghatározott négy háromszög beírt köreinek sugaraira teljesül . További tulajdonságok Ha egy érintőnégyszög nem trapéz, akkor pontosan akkor érintőnégyszög, ha teljesülnek a következő összefüggések: közép|800px
Ahol E az és egyenesek metszéspontja, és F a és egyenesek metszéspontja.
Legyenek P, Q, R, S az M középpontból az AB, BC, CD, DA oldalakra bocsátott merőlegesek talppontjai, és a beírt kör középpontja. Ekkor az MSA és APM derékszögű háromszögek a háromszögek egybevágósági tétele alapján egybevágók, ugyanis az AM oldal közös, és , illetve . Ebből következik, hogy ezeknek a háromszögek a belső szögei egyenlőek, tehát . Hasonlóan teljesül, hogy , és Ennek a nyolc szögnek az összege az M pont körül 360 fok, Ebből következően és , tehát . A beírt kör középpontjánál a szemben fekvő szögek összege 180°. Képletek Matematikai képletek az érintőnégyszöghözTerület300pxKerületAz átlók hosszaA beírt kör sugara
A Pitagorasz-tétellel és a koszinusztétellel megkaphatjuk a és hosszát. Eszerint
Innen a hosszak aránya
Egyenlőségek Az érintőnégyszögek szögeire teljesül, hogy:Nicusor Minculete: Characterizations of a Tangential Quadrilateral , Forum Geometricorum
Jegyzetek
Források
. Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Springer, 2009, , S. 60-61 Siegfried Krauter, Christine Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie: Ein Arbeitsbuch zum selbstständigen und aktiven Entdecken. Springer, 2012, , S. 77-78 Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, , S. 21; Auszug (PDF; 4,1 MB) Weisstein, Eric W., "Tangential Quadrilateral", MathWorld
Fordítás
Kategória:Négyszögek