A másodrendű nyomaték vagy inercianyomaték a síkidom jellemzője, melyet az ilyen keresztmetszetű rúd hajlítással szembeni ellenállásának és lehajlásának számítására használnak. Hasonló a szerepe hajlításnál, mint csavarásnál a poláris másodrendű nyomatéknak.
A másodrendű nyomaték nem tévesztendő össze a tehetetlenségi nyomatékkal, melyet dinamikai számításoknál használnak. Mérnökök sokszor tehetetlenségi nyomaték nevet használnak másodrendű nyomaték helyett, ami zavaró lehet. Hogy melyik fogalomról van szó, azt a mértékegységből könnyen meg lehet állapítani.
Definíció A tengelyre számított másodrendű nyomaték(más szóval ekvatoriális másodrendű nyomaték):
ahol = a másodrendű nyomaték az tengely körül = egy elemi terület = elem távolsága az tengelytől
Mértékegysége A másodrendű nyomaték SI egysége méter a negyedik hatványon (m4).
Különböző keresztmetszetek másodrendű nyomatéka (Lásd még Másodrendű nyomatékok listája más keresztmetszetekre.)
Téglalap keresztmetszet (x és y tengelyek a súlyponton mennek át)
= szélesség (x-irányban), = magasság (y-irányban)
= szélesség (x-irányban), = magasság (y-irányban)
Körkeresztmetszet
= sugár, = átmérő
Steiner-tétel A Steiner-tétel segítségével egy síkidom másodrendű nyomatéka határozható meg tetszőleges tengelyre, ha a súlyponti, vele párhuzamos tengelyre ismert a másodrendű nyomaték és a tengelynek a súlyponti tengelytől való távolsága.
= másodrendű nyomaték a z-tengelyre, = másodrendű nyomaték a z tengellyel párhuzamos súlyponti tengelyre, (egybeesik a semleges tengellyel), = a síkidom területe, = a két tengely közötti távolság
Összetett keresztmetszetek Gyakran egyszerűbb egy síkidomot részekre bontani, egyenként kiszámítani saját súlyponti tengelyükre a másodrendű nyomatékot, majd a Steiner-tétel segítségével összegezni.
= távolság az x-tengelytől = távolság az y-tengelytől = a rész területe a rész tehetetlenségi nyomatéka a megfelelő irányban (azaz illetve ).
200px|jobbra
"I-tartó" keresztmetszet
Az I-tartót vagy három téglalap összegeként vagy egy nagy téglalap és két kis téglalap különbségeként lehet számítani.
= szélesség (x-irányban), = magasság (y-irányban) = a gerinc szélessége = a két szalag távolsága
A következő képlet a nagy téglalapból kivonva a kis téglalapokat módszert használja. Az x-tengelyre vett másodrendű nyomaték:
Az y-tengelyre vett másodrendű nyomaték számításánál figyelembe kell venni, hogy az eltávolítandó részek másodrendű nyomatékát a Steiner-tétellel kell számítani:
= a levonandó részek területe, = a levonandó részek súlypontjának távolsága az y-tengelytől.
Az y-tengelyre vett másodrendű nyomatékot egyszerűbben lehet kiszámítani, ha az I-tartót három téglalap összegére bontjuk, mert akkor mindegyik rész súlypontja a tengelyre esik:
Centrifugális másodrendű nyomaték Az Ixy centrifugális másodrendű nyomaték definíciós képlete:
= elemi terület, = az elemi terület távolsága az y tengelytől, = az elemi terület távolsága az x tengelytől.
A centrifugális másodrendű nyomaték ismeretére akkor van szükség, ha aszimmetrikus keresztmetszetű rúd hajlításakor ébredő feszültségeket számítjuk. A másodrendű nyomatéktól eltérően a centrifugális másodrendű nyomaték értéke pozitív és negatív is lehet. Azokat az egymásra merőleges tengelyeket, melyekre a centrifugális tehetetlenségi nyomaték értéke zéró, a keresztmetszet főtengelyeinek hívjuk. Szimmetriatengelyek mindig főtengelyek.
A centrifugális másodrendű nyomaték használható az eredeti koordináta-rendszerhez képest elforgatott rendszerben vett másodrendű nyomatékok számításához:
= az elfordulás szöge , és = a másodrendű nyomatékok és a centrifugális nyomaték az eredeti koordináta-rendszerben, , és = a másodrendű nyomatékok és a centrifugális nyomaték az elforgatott koordináta-rendszerben.
Az a szög, mellyel el kell fordítani a koordináta-rendszert, hogy a centrifugális nyomaték zéró legyen:
Ez a szög az, amit az eredeti koordináta-rendszer tengelyei a főtengelyekkel bezárnak.
Steiner-tétel centrifugális másodrendű nyomaték esetén
A centrifugális másodrendű nyomatékokra is létezik Steiner-tétel, ám ekkor a Steiner-tag más. Egy síkidom tetszőleges helyzetű centrifugális másodrendű nyomatékát megkapjuk, ha a velük párhuzamos súlyponti tengelypárra számított másodrendű nyomatékhoz hozzáadjuk az előjeles súlypont-koordinátáknak és a síkidom területének szorzatát.
= centrifugális másodrendű nyomaték a xy-tengelyre, =centrifugális másodrendű nyomaték az xy tengelyekkel párhuzamos súlyponti tengelyekre,, = a síkidom területe, = síkidom súlypontjának koordinátái az xy koordinátarendszerben
Bizonyítás:
Mivel a koordináták közötti összefüggések:
így fel tudjuk írni az x,y tengelypárra számított centrifugális másodrendű nyomatékokat a következő alakban is
Ahol = u súlyponti tengelyre számított statikai (elsőrendű) nyomaték =v súlyponti tengelyre számított statikai (elsőrendű) nyomaték
Az u,v súlyponti tengelyekre a statikai (elsőrendű) nyomatékok zérus értékűek, ezért adódik, hogy
.
A hajlított tartó feszültségei
A hajlított tartóban ébredő feszültség általános esetben:
a hajlítófeszültség = az y-tengelytől mért távolság = az x-tengelytől mért távolság = hajlítónyomaték az y-tengely körül = hajlítónyomaték az x-tengely körül = másodrendű nyomaték az x-tengelyre = másodrendű nyomaték az y-tengelyre = centrifugális nyomaték
Tehetetlenségi főtengelyek esetében
Ha csak egyik tengely körül ébred hajlítónyomaték:
Kapcsolódó szócikkek
Poláris másodrendű nyomaték Elsőrendű nyomaték Tehetetlenségi nyomaték Másodrendű nyomatékok listája
Források
Mechanics of solids and structures, Benham, P.P. Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1981.
Fordítás
Kategória:Fizikai mennyiségek