A geometriában a sík két, egymással szöget bezáró vektorának skaláris szorzata az valós szám. Két geometriai vektor skaláris szorzatát tehát úgy kapjuk meg, hogy összeszorozzuk a hosszukat és az általuk közbezárt szög koszinuszát. A skaláris szorzás ezek szerint kétváltozós függvény, amely a vektorpárokat a valós számokra képezi. Bár a vektorok skaláris szorzása számos tekintetben hasonlít a számok szorzására, lényeges különbség az, hogy míg két szám szorzata ismét szám, két vektor skaláris szorzata nem vektor, hanem szám (skalár; innen ered az elnevezés), így szigorúan véve ez a leképezés nem is nevezhető műveletnek. A skaláris szorzatot néha belső szorzatnak is nevezik. Szokásos jelölése: , , vagy .
A skaláris szorzatnak fontos közvetlen alkalmazásai vannak a geometriában és a fizikában, igazi jelentőségét azonban az adja, hogy a skalárszorzat-fogalomnak számos általánosítása és absztrakciója van, amelyek révén alkalmazható a koordinátageometriában, a lineáris algebrában, a vektoranalízisben, a funkcionálanalízisben, az ortogonális függvénysorok elméletében, a statisztikában és a számítástechnikában is.
A széleskörű alkalmazhatóság kulcsa az a megfigyelés, hogy ha a két összeszorzandó síkvektor koordinátáival adott: és , akkor skaláris szorzatuk épp az
mennyiség.
Ez az összefüggés lehetővé teszi, hogy a skalárszorzat fogalmát tetszőleges n-dimenziós valós vektorterek elemeire is kiterjesszük, és az és n-dimenziós vektorok skalárszorzatát az
egyenlőséggel definiáljuk.
Ennek révén aztán a lineáris algebrában szokásos absztrakt vektorokkal kapcsolatban is beszélhetünk olyan alapvetően geometriai jellegű fogalmakról, mint a hosszúság, a hajlásszög, az irány, a merőlegesség és a párhuzamosság, valamint a vetület. Ugyanakkor a fordított irányú kapcsolat lehetővé teszi, hogy geometriai feladatokat aritmetikai, algebrai számítások elvégzésére vezessünk vissza, ami a koordinátageometria és a geometria fizikai-műszaki alkalmazásainak az alapja.
Motiváció és történeti háttér bélyegkép|Az erővektornak az elmozdulásvektor irányába mutató komponense , így az által végzett munka épp Történetileg a skaláris szorzás motivációját a mechanikai munka fizikai fogalma adja. Ismert, hogy ha egy test valamilyen erő hatására a kérdéses erő irányába elmozdul, akkor az erő által végzett munka (a test mozgási energiájának növekedése) az erő és az elmozdulás szorzata. Az erő és az elmozdulás azonban egyaránt vektormennyiségek, és előfordulhat, hogy irányuk nem esik egybe. Ilyenkor az erő által végzett munka továbbra is lineáris függvénye mind az erőnek, mind az elmozdulásnak, de a munka tényleges mértékének kiszámításában csak az erőnek az elmozdulás irányába eső komponense játszik szerepet. Ha jelöli az erővektor és az elmozdulásvektor hajlásszögét, akkor ez a komponens épp az erővektor -szorosa, így az erő által végzett munka , és skaláris szorzata.
Az analitikus geometriában először Lagrange 1773-as, Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires című művében bukkan fel a skaláris szorzat. A fogalom modern tárgyalása Gibbs 1901-es (tanítványa, Edwin Bidwell Wilson által lejegyzett) Vector Analysis című művében jelenik meg. Geometriai jelentése Jelölje az és vektorok hosszát és , illetve legyen az és vektorok által közrezárt szög ! Ekkor
Szigorúan véve egyik tényező sem lehet a nullvektor, hiszen akkor a közrezárt szög nem definiálható. Definíció szerint, ha vagy , akkor .
Ahogy szorzáskor, itt is szokás elhagyni a szorzásjelet, ha ez nem okoz félreértést:
Ahelyett, hogy írható az is, hogy vagy
További szokásos jelölések még és
Alapvető tulajdonságai
A skalárszorzat definíciójából közvetlenül következnek az alábbi tulajdonságok.
Ha és párhuzamosak és egyező irányításúak, azaz , akkor
Speciálisan, a skalárszorzattal kiszámítható egy vektor hossza:
Ha és párhuzamosak, de ellenkező irányításúak, vagyis , akkor:
Ha két vektor merőleges egymásra, akkor hajlásszögük koszinusza 0, így skaláris szorzatuk is nulla. Megfordítva, ha két, egymással szöget bezáró (nem nulla hosszúságú) vektor skaláris szorzata nulla, akkor
és így . Követve azt a konvenciót, hogy a nullvektor minden vektorra merőleges, a fentieket úgy foglalhatjuk össze, hogy két vektor akkor és csak akkor merőleges, ha a szorzatuk nulla.
Ha és hegyesszöget zár be, akkor Ha és szöge tompaszög, akkor
Ha (Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenség) és lineárisan összefüggők.
A skaláris szorzat szimmetrikus (a műveleteknél megszokott szóhasználattal: kommutatív), mivel
Egy vektor önmagával vett skaláris szorzata a vektor hosszúságának a négyzete: Ebből következően , és akkor és csak akkor, ha Az ilyen leképezéseket pozitív definitnek nevezzük.
Minden argumentumában homogén: minden és vektorra és minden valós számra.
Minden argumentumában additív: és minden és vektorra.
Mivel a skaláris szorzat nem a tényezőkkel azonos dimenziójú vektor, hanem skalár, azért valódi asszociativitás nem értelmezhető.
Általában , hiszen az első szorzatban egy a második szorzatban egy irányú vektort kapunk.
Bilinearitás A skalárszorzat bilineáris, azaz mindkét változójában lineáris. Ez azt jelenti, hogy tetszőleges skalárra és vektorokra
(B1) és
(B2) .
A szimmetriatulajdoság miatt ezekből már következik, hogy
(B3) és
(B4) .
(B1) közvetlenül következik a definícióból, hiszen )
A bilinearitás a (valós) skaláris szorzat egyik legfontosabb tulajdonsága amellett, hogy kiszámítható vele egy vektor normája (hossza). Ezeken alapul a skaláris szorzás alkalmazása a lineáris algebrában.
Példák Legyen és ! Ekkor a skalárszorzat a közrezárt szögtől függ: Ha a bezárt szög 0 fok, akkor , így Ha a bezárt szög 60 fok, akkor , ezért Ha a bezárt szög 90 fok, akkor , emiatt
Bármely lineáris térben értelmezhető egy adott bázishoz tartozó skalárszorzat a következőképp. Ha és vektor az bázisban felírható:
akkor az ezen bázis által meghatározott skalárszorzat:
Geometriai vonatkozások
thumb|100px|. az vetülete -re.
Az euklideszi geometriában szoros összefüggés áll fenn a skalárszorzat és a hosszak, valamint a szögek között. Egy vektorra a hosszának (abszolút értékének) négyzete, és ha egy másik vektor, akkor
ahol és jelöli az és vektor hosszát, pedig az általuk bezárt szög.
Mivel az vektornak -re való vetülete, a skalárszorzatot geometriailag úgy lehet értelmezni, mint -nak irányába eső komponensének és -nek a szorzatát.
Mivel nullával egyenlő, két egymásra merőleges vektor szorzata mindig nulla. Ha és vektor hossza egységnyi (vagyis egységvektorok), skalárszorzatuk egyszerűen közbezárt szögük koszinuszát adja.
Így a két vektor közötti szög:
A fenti tulajdonságokat időnként a skalárszorzat definíciójaként is használják, különösen 2 és 3 dimenziós vektorok esetében. Több dimenziós esetben a képletet a szög értelmezéseként lehet használni.
Példa számítások
Az : és vektorok hossza: és
A közrezárt szög koszinusza:
Tehát
Geometriai vonatkozás bizonyítása Vegyük tetszőleges elemét
A Pitagorasz-tétel egymást követő alkalmazásával -re (a hosszra) a következőt kapjuk
De ez ugyanaz, mint a
ebből arra a következtetésre jutunk, hogy egy vektor önmagával vett skaláris szorzata a vektor hosszának a négyzetét adja.
Lemma: .
Most vegyünk két vektort az origóban: -t és -t, melyek szöget zárnak közre. Definiáljunk egy harmadik, vektort:
ezzel alkottunk egy háromszöget , és oldalakkal. A koszinusztételt felírva:
A lemma alapján a hosszak négyzetének helyébe skaláris szorzást helyettesítve kapjuk, hogy (1) De mivel , azt is tudjuk, hogy , ami a disztributív tulajdonság miatt (2) A két egyenletet – (1) és (2) – egyenlővé téve
Kivonunk mindkét oldalról -t és osztunk -vel. Marad
Q.E.D. Merőlegesség és merőleges vetítés Két vektor, a és pontosan akkor merőleges, ha skalárszorzatuk nulla:
merőleges vetülete az által megadott irányra:
A vetület az a vektor, melynek a végpontja a vektor egyenesére az vektor végpontjából bocsátott merőleges talppontja. A vektor merőleges az vektorra.
Ha egységvektor, akkor a képlet egyszerűbb:
Kapcsolat a vektoriális szorzással A vektoriális szorzás egy másik művelet, aminek eredménye szintén vektor. A vektoriális szorzat merőleges a tényezők által kifeszített síkra, és hossza megegyezik a tényezők által kifeszített paralelogramma területével. A kétféle szorzást a következő szabályok kapcsolják össze:
Az első két szabály írja le a vegyes szorzatot, ami az vektorok által kifeszített paralelepipedon előjeles térfogatával egyezik meg.
Alkalmazások A geometriában A skaláris szorzással egyszerűbben bizonyíthatók tételek szögekről és távolságokról. Például a koszinusztétel:
Bizonyítás: A bevezetett vektorok elhelyezkedése szerint A hossz négyzetre emelésével:
és így
Az analitikus geometriában A skaláris szorzással ábrázolható egy egyenes egy síkban, egy sík egy térben, vagy általánosabban, egy hipersík bármely dimenziós térben: , ahol támaszvektor és normálvektor. Az adott egyenes, sík, hipersík pontjai azok a pontok, amelyek megoldják ezt az egyenletet. Eltérően a paraméteres alaktól, itt nincsenek paraméterek. A lineáris algebrában A skalárszorzás segítségével egy lineáris egyenletrendszer minden egyenlete hipersíknak tekinthető. Legyen a rendszerben egyenlet, a változók száma pedig ! Ekkor úgy, hogy és . így a lineáris egyenletrendszer megoldáshalmaza hipersíkok metszeteként definiálható. Fizikai alkalmazások thumb|500px|Ferde síkok a példához A fizikában sok mennyiséget skaláris szorzattal definiálnak, mint például a munkát:
ahol az erő és az út vektormennyiségek. Itt az erőnek az út irányába mutató komponense, pedig az út erő irányú komponense.
Példa: Egy tömegű járművet és ferde síkján át mozgatják. A munkát így számolhatjuk:
Általánosítás A fenti tulajdonságokat tekintetbe véve a skalárszorzat általánosítható tetszőleges valós vagy komplex vektortérre. A skaláris szorzat egy függvény, ami két vektorhoz egy testelemet (skalárt) rendel, a megadott tulajdonságoknak megfelelően. Lehetséges, hogy több bilineáris forma is megfelel skaláris szorzatként. Komplex számtest fölött a definíciót módosítani kell, hogy a skaláris szorzat pozitív definit legyen, mivel általában nincs olyan komplex bilineáris forma, ami pozitív definit és szimmetrikus.
Az általánosított esetben a jelölések is különböznek az alapesettől. A vektorterek elemein nem jelölik, hogy vektorok. Az és vektorok skaláris szorzatát nem szorzóponttal, hanem hegyes zárójellel jelzik: . További jelölések: főleg a kvantummechanikában , lásd Bra-Ket-jelölés; és . Definíciók Egy valós vektortéren egy skaláris szorzás egy szimmetrikus pozitív definit bilineáris alak, vagyis tetszőleges és esetén teljesülnek: mindkét argumentumban lineáris:
szimmetrikus: pozitív definit:
pontosan akkor, ha
Egy komplex vektortéren egy skaláris szorzás egy hermitikus szeszkvilineáris forma, vagyis tetszőleges és esetén teljesülnek: sesquilinearis:
(első argumentumban féllineáris)
(második argumentumban lineáris) hermitikus: pozitív definit: (Az, hogy valós, következik a második feltételből) akkor és csak akkor, ha
Egy skaláris szorzattal ellátott valós vagy komplex vektorteret skalárszorzatosa térnek vagy prehilbert-térnek neveznek. Skalárszorzattal ellátott véges valós vektortereket neveznek euklideszi vektortereknek; komplex esetben unitér terekről beszélnek. Így beszélnek euklideszi és unitér skalárszorzatokról is. Az euklideszi skalárszorzat kifejezést használják a fent bevezetett skalárszorzásra és a később leírt standard skalárszorzatra is -ben. Megjegyzések Gyakran minden szimmetrikus bilineáris alakot, illetve hermitikus sesquilinearis formát skaláris szorzatnak neveznek; ezzel a szóhasználattal a fenti definíciók pozitív definit skalárszorzatokat írnak le.