thumb|200px|Eltolás A geometriában az eltolás az egybevágósági transzformációk közé tartozik. Ha a sík vagy a tér minden pontjának képe ugyanabban az irányban, ugyanakkora távolságban fekszik, akkor a transzformáció eltolás. Ha adva van a vektor, akkor a vele való eltolásban minden pont képére teljesül, hogy a vektor egyenlő -vel. Az identitás is felfogható eltolásnak; ekkor az eltolásvektor a nullvektor.
Tulajdonságok antiszimmetria nincs fixpontja, kivéve, ha identitás az eltolás irányával párhuzamos egyenesek, síkok invariánsak az egyenesek, síkok, … párhuzamosak képükkel megtartja a körüljárási irányt több egymás utáni eltolás szorzata egy eltolással helyettesíthető előáll két, az eltolás irányára merőleges tengelyű (síkra) tükrözés szorzataként, amely tengelyek (síkok) távolsága egyenlő az eltolási vektor hosszának felével a síkban eltolás és forgatás szorzata forgatás; a térben csavarmozgás egy adott sík vagy tér forgatásai csoportot alkotnak az eltolás inverze az ellentett vektorral vett eltolás megadható eltolásvektorral vagy (pont, pont képe) párral
Algebra Az n-dimenziós tér eltolásai Abel-csoportot alkotnak, amiben a művelet az eltolások egymás utáni elvégzése. Ebben a csoportban a kompozíciós (○) helyett inkább az additív (+) jelölést használják, mert így elmondható, hogy az eltolások összegének vektora az összeadandó eltolások vektorainak összege.
Több is igaz. Az n dimenziós test fölötti vektortér eltolásai mint leképezések vektorteret alkotnak az összeadás és a skaláris szorzás műveleteivel, hiszen egy eltolási leképezést megfeleltethetünk az eltolási vektorának. Ezért az eltolások mint leképezések halmazának struktúrája az irányított szakaszok osztályainak struktúrájával ekvivalens: vektortér, ahol a skalárok a test elemei. Ennek a vektortérnek a dimenziója n, ugyanúgy, mint a kiindulási vektortéré.
Fontos megjegyezni, hogy valódi eltolás nem lineáris leképezés, mert a nullvektort nem hagyja helyben.
Eltolás homogén koordinátákban Ha a derékszögű koordinátákhoz hozzáveszünk még egy koordinátát, és azonosnak tekintjük azokat a pontokat, amik skalárszorosai egymásnak. Tehát homogén koordinátákban .
A homogén koordináták használatával kezelhetővé válik az n dimenziós tér projektív lezártja a geometriai transzformációk mátrixszorzással hajthatók végre: egységesen lehet kezelni az eltolást és a lineáris leképezéseket a transzformációk több dimenzióra is általánosíthatók több transzformáció egymásutánja a megfelelő mátrixok szorzatával helyettesíthető
Mindezekkel csökken a számítási igény, ami fontos például a képalkotásban.
Három dimenzió esetén az eltolás homogén koordinátákban megadott mátrixa így néz ki:
ahol rendre a v eltolásvektor x,y,z koordinátája.
A képalkotó eljárásokban balról szokták szorozni a mátrixokat: ha az A mátrixot szorozzák az x vektorral, akkor az szorzatot veszik. Ezért az eltolásvektor koordinátái az utolsó sorba kerülnek:
A sík eltolásai reprezentálhatók a komplex számok összeadásával, a tér eltolásai pedig a kvaterniók segítségével.
Források https://web.archive.org/web/20081021092706/http://web.axelero.hu/ebalog/matektetel.htm https://web.archive.org/web/20110926082024/http://www.geo.u-szeged.hu/~bodis/maths/szakdolgozat/#2.2 https://web.archive.org/web/20160308051506/http://kemeny-eger.sulinet.hu/public/doks/matematika/tetel15.pdf https://web.archive.org/web/20081109194722/http://bel.freeweb.hu/e3/matek2.html (Megszűnt a lap. Te is segíthetsz megfelelő hivatkozást találni!) http://files.szt.ektf.hu/dl.php?file=files%2FTan%C3%A1ri+Megoszt%C3%A1sok%2FKov%C3%A1cs+Em%C5%91d%2Fgrafika%2F!Komputergrafika+vizsga+seg%C3%A9danyagjai%2FKrammer+jegyzet+v%C3%A1ltozat%2FG4ADO-Mellekletek.rtf eltolás inverze https://web.archive.org/web/20081104062923/http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Pogats_Ferenc/sik/siktraf/siktraf.htm https://web.archive.org/web/20081205021741/http://xml.inf.elte.hu/~mathdid/szakdolg/viki/lexindex.html https://web.archive.org/web/20160305044726/http://www.hefop.u-szeged.hu/hefop_kk/documents/Tananyag/SZTE/Euklideszi_geometria.pdf
http://bme.selye.sk/segedanyagok/szigorlat/bsz/bsz1/bsz1_osszefoglalo.rtf az eltolás nem lin. lek., mert a nullvektort nem a nullába viszi https://web.archive.org/web/20090412103937/http://www.agt.bme.hu/szakm/szg/homogen.htm homogén koordináták: miért? http://prog.hu/cikkek/868/Homogen+koordinatak+es+transzformaciok/oldal/1.html és a továbbiak https://web.archive.org/web/20080616192331/http://www.ngkszki.hu/~trembe/szakdoga/05.htm reprezentáció komplex számokkal https://web.archive.org/web/20160304093420/http://zeus.nyf.hu/~mattan/faliujsag/Fejezetek_geombol3.pdf
Kategória:Geometriai transzformációk Kategória:Lineáris algebra