Az egybevágósági transzformációk közül többet is tükrözésnek neveznek. Legismertebb a síkbeli tengelyes tükrözés és pontra tükrözés. Néha a térbeli síkra tükrözés is szóba kerül. Az inverziót körre tükrözésnek is szokás nevezni.

Középpontos tükrözés Az egyenesen értelmezett középpontos tükrözés az egyenes egy P pontját abba a P1 pontba viszi, ami ugyanolyan távol van a középponttól, mint P, hogy a középpont a PP1 szakasz felezőpontja legyen.

Legtöbbször ennek síkbeli kiterjesztéséről beszélnek. Ekkor a sík egy P pontjának P1 képe az a pont, ami a P pontot a középponttal összekötő egyenesen fekszik, hogy a középpont a PP1 szakasz felezőpontja.

Tulajdonságok A középpontos tükrözésnek a következő tulajdonságai vannak a síkban: olyan forgatás, aminek szöge 180 fok irányítástartó megadható középpontjával, vagy egy pont-pont képe párral van egy fixpontja: a középpontja invariáns egyenesei a középponton átmenő egyenesek felírható két tengelyes tükrözés szorzataként, melyek tengelyei merőlegesek egymásra, és a középpontban metszik egymást a transzformációszorzásban eltolással szorozva középpontos tükrözést ad két középpontos tükrözés szorzata eltolás

Tengelyes tükrözés Tengelyes tükrözés az a transzformáció, ami szerint egy P pont képe az a P1 pont, ami a P pontból a tükrözés tengelyére bocsátott merőlegesen fekszik, és távolsága megegyezik a P pont tengelytől mért távolságával.

Síkban a tengely a PP1 szakasz felezőmerőlegese. Térben a szakasz felezőmerőleges síkjában helyezkedik el. Tulajdonságok A síkban:

irányításváltó megadható tengelyével vagy pont - pont képe párral fixegyenese a tengelye invariáns egyenesei a tengelyre merőleges egyenesek egy tengelyes tükrözés a tengelyes tükrözések közül csak önmagával vagy rá merőleges tengelyű tükrözéssel cserélhető fel önmagával vett szorzata identitás három, egy ponton átmenő tengelyű, vagy párhuzamos tengelyű tükrözés szorzata tengelyes tükrözés ebben a szorzatban a két szélső tényező felcserélhető egymással három, páronként egymást metsző tengelyű tükrözés szorzata csúsztatva tükrözés két tengelyes tükrözés szorzata forgatás, ha a tengelyek metszik egymást eltolás, ha párhuzamosak páros számú tengelyes tükrözés szorzata nem írható fel páratlan számú tengelyes tükrözés szorzataként a sík összes transzformációja előáll legfeljebb három tengelyes tükrözés szorzataként

A térben:

irányítástartó 180 fokos forgatás a tengely körül megkapható két merőleges síkra tükrözéssel önmagával vett szorzata identitás megadható tengelyével fixegyenese a tengelye invariáns egyenesei a tengelyre merőleges egyenesek egy egyenes képe abban a pontban metszi a tengelyt, amiben az egyenes is metszi a tengellyel párhuzamos egyenesek képei is párhuzamosak a tengellyel, és tengelytől vett távolságuk megegyezik az eredeti egyenesek tengelytől mért távolságával három párhuzamos tengelyre vett tükrözés szorzata tengelyes tükrözés

Tengelyes szimmetria Egy alakzat tengelyesen szimmetrikus a síkban, ha van tengely, amire tükrözve önmagába megy át. Ilyen például az egyenlő szárú háromszög, a húrtrapéz, a deltoid, a rombusz, a téglalap, a kör.

Síkra tükrözés Síkra tükrözés az a (téren értelmezett) transzformáció, ami szerint egy P pont képe az a P1 pont, ami a P pontból a tükrözés síkjára bocsátott merőlegesen fekszik, és távolsága megegyezik a P pont tengelytől mért távolságával.

Ekkor a tükrözés síkja a PP1 szakasz felező merőleges síkja. Tulajdonságok Irányításváltó Egyértelműen megadható a tükrözés síkjával, vagy egy pont-pont képe párral A tükrözés síkja fix A tükrözés síkjára merőleges egyenesek, síkok invariánsak A tükrözés síkjával párhuzamos egyenes, sík képe párhuzamos az eredeti egyenessel, síkkal A tükrözés síkját metsző egyenes, sík képe ugyanabban a pontban metszi a síkot, mint az eredeti egyenes, sík Ekkor a tükrözés síkja az eredeti és a képsíkok szögfelező síkja Önmagával vett szorzata az identitás Három közös egyenesen átmenő, vagy párhuzamos síkra vett tükrözés szorzata síkra vett tükrözés, és ebben a szorzatban a két szélső tényező felcserélhető A tér bármely egybevágósága előáll legfeljebb négy síkra tükrözés szorzataként Páros számú síkra tükrözés szorzata nem fejezhető ki páratlan számú síkra tükrözés szorzataként Két síkra tükrözés csak akkor cserélhető fel, ha síkjaik merőlegesek egymásra, vagy megegyeznek

Algebra Síkban a tengelyes tükrözések, térben a síkra tükrözések generálják a hasonlósági transzformációk csoportját. Lineáris algebra A síkban (az origón átmenő) egyenesre, a térben (origón átmenő) síkra tükrözés mátrixa −1 determinánsú ortogonális mátrix.

A síkban az origón átmenő, az x tengely pozitív felével szöget bezáró egyenesre tükrözés mátrixa:

A koordinátasíkokra, koordinátatengelyekre, origóra tükrözés mátrixai a térben:

az YZ koordinátasíkra:

az X tengelyre:

az origóra:

Általánosítások Csúsztatva tükrözés: felírható egy tükrözés és egy eltolás szorzataként. Ebben a szorzatban a tényezők felcserélhetők, és választható olyan eltolás és tükrözés, hogy az eltolás iránya párhuzamos legyen a tükrözés tengelyével vagy síkjával. Felírható három tengelyes vagy síkra tükrözés szorzataként. Mátrixa ‒1 determinánsú ortogonális mátrix. A sík minden irányításváltó egybevágósági transzformációja csúsztatva tükrözés.

A tükrözés speciális csúsztatva tükrözésnek tekinthető, ahol a fenti szorzatban az eltolás az identitás.

Forgatva tükrözés: felírható egy síkra tükrözés és egy tengelyes forgatás szorzataként. Ebben a szorzatban a tényezők felcserélhetők, és választható olyan forgatás és tükrözés, hogy a forgatás tengelye merőleges legyen a tükrözés síkjára.

A síkra tükrözés speciális forgatva tükrözésnek tekinthető, ahol a fenti szorzatban a forgatás az identitás.

Kapcsolódó szócikkek Szimmetria Csoportelmélet Forgatás

Források https://web.archive.org/web/20080215214054/http://lexikon.fazekas.hu/123 https://web.archive.org/web/20081109194722/http://bel.freeweb.hu/e3/matek2.html (Megszűnt a lap. Te is segíthetsz megfelelő hivatkozást találni!) https://web.archive.org/web/20160308051506/http://kemeny-eger.sulinet.hu/public/doks/matematika/tetel15.pdf https://web.archive.org/web/20080603080105/http://www.pharmachip.hu/zyx/old/hiperter/4dgeo.htm kiterjesztések https://web.archive.org/web/20081021092706/http://web.axelero.hu/ebalog/matektetel.htm https://web.archive.org/web/20081104062923/http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Pogats_Ferenc/sik/siktraf/siktraf.htm https://web.archive.org/web/20081210183650/http://www.math-inst.hu/~carlos/geo2ttem.html https://web.archive.org/web/20081225001602/http://xml.inf.elte.hu/~mathdid/szakdolg/viki/lexikon/stu/stu.html https://web.archive.org/web/20160305044726/http://www.hefop.u-szeged.hu/hefop_kk/documents/Tananyag/SZTE/Euklideszi_geometria.pdf harmadik dimenzió https://web.archive.org/web/20110926082024/http://www.geo.u-szeged.hu/~bodis/maths/szakdolgozat/ http://adameva.web.elte.hu/6AlkModsz/TetelekSztolar/IA_10.doc

Kategória:Geometriai transzformációk