Langolo tangente o angolo di rotazione di una curva regolare in un punto appartenente alla curva è l'angolo tra la tangente alla curva in e l'asse delle ascisse,"Natural Equation", MathWorld oppure tra la tangente in e la tangente in un punto prestabilito della curvaAd esempio, W. Whewell in "Of the Intrinsic Equation of a Curve, and its Application" Cambridge Philosophical Transactions Vol. VIII (1849) pp. 659-671, dove indica con φ l'angolo tra la tangente nel punto e la tangente dell'origine; in quest'articolo introduce il concetto di equazione di Whewell, una importante applicazione dell'angolo tangente. (le due definizioni sono equivalenti a meno di una costante additiva).

Definizione e proprietà Data una curva regolare espressa dalla parametrizzazione e dato tale che

per un valore fissato, si dimostra che esiste un'unica funzione differenziabile tale che

e . Tale funzione è l'angolo tangente di determinato da ..

Se la curva ha velocità unitaria, si ha

e si dimostra che la curvatura è data dalla derivata dell'angolo tangente:

dove il segno di è positivo se la curva si piega a sinistra, negativo se si piega a destra.MathWorld, "Natural Equation"

Se la curva è espressa implicitamente dall'equazione , una sua parametrizzazione è data da e si può assumere , e l'angolo di rotazione è dato esplicitamente da .

Angolo tangente polare In coordinate polari, l'angolo polare tangente in un punto è definito come l'angolo tra la tangente alla curva in quel punto e il raggio che va dall'origine al punto stesso. Se denota l'angolo polare tangente, allora , dove è l'angolo tangente precedentemente definito e è l'angolo polare.

Se una curva è definita in coordinate polari come si ha che l'angolo polare tangente in è dato (a meno di un multiplo di ) da .

Se la curva è espressa tramite una parametrizzazione in coordinate polari e con velocità unitaria , la definizione diventa più semplice .

La spirale logaritmica può essere definita come una curva il cui angolo tangente polare è costante..

Note

Bibliografia

Voci correlate Geometria differenziale Geometria differenziale delle curve Geometrie non euclidee Curva (matematica) Lunghezza di un arco Curvatura

Collegamenti esterni

Categoria:Geometria differenziale