In matematica una superficie conica è una superficie generata dal movimento rigido di una retta detta generatrice lungo i punti di una circonferenza detta direttrice per un punto fisso detto vertice, non complanare con alla direttrice. Perciò, il punto di incontro di tutte le direttrici è il vertice, che divide ogni direttrice in due semirette e che divide la superficie in due falde.
La superficie conica è dunque una delle superfici di rotazione.
Si possono avere due tipi di coniche: quando è una conica, non degenere, viene generato il cosiddetto cono quadricoUn cono quadrico si può definire come proiezione di una conica (da un centro « vertice » fuori dal suo piano). Viceversa la sezione di un cono quadrico con un piano non passante per il vertice è una conica. Enriques F., Lezioni di geometria proiettiva. Italian ed. 1898. p. 208, altrimenti, cioè quando non è una curva conica, il cono viene detto cono generico.
Il cilindro viene considerato come caso particolare di cono avente vertice posto a distanza infinita.
Secondo il tipo di conica che ha un cono quadrico come propria direttrice retta, si ha la seguente classificazione: Cono circolare: si ottiene dal movimento di una retta , detta generatrice, intorno a un'altra retta , detta asse di rotazione, nella condizione in cui tali rette e siano tra loro complanari. In questo modo, sezionando tale cono con un piano perpendicolare all'asse e non passante per il suo vertice, si ha una circonferenza come direttrice retta dello stesso cono. Cono ellittico. Cono iperbolico.
Equazioni Una superficie conica può essere descritta parametricamente come:
con il vertice della superficie e la sua direttrice.
Una superficie conica circolare retta di apertura , l'asse della quale è l'asse delle , e con vertice l'origine, è descritta dalla seguente parametrizzazione:
dove e . Nella forma implicita, la stessa superficie è descritta dall'equazione , dove:
Più in generale, una superficie conica circolare retta, con vertice nell'origine e l'asse parallelo al vettore , di apertura , è data dall'equazione vettoriale implicita , dove:
ossia:
dove , e denota il prodotto scalare.
In , una superficie conica con direttrice ellittica, è data dalla seguente equazione omogenea di grado 2:
Bibliografia
Voci correlate Anticlessidra Proiezione centrale Superficie rigata Superficie proiettiva Sezione conica
Collegamenti esterni
Categoria:Superfici