In matematica, la disuguaglianza di Prékopa-Leindler è una disuguaglianza integrale strettamente correlata alla disuguaglianza inversa di Young, alla disuguaglianza di Brunn-Minkowski e ad altre numerose, importanti e classiche disuguaglianze in analisi. Il risultato porta il nome dei matematici ungheresi András Prékopa e László Leindler.

Enunciato della disuguaglianza Sia e siano tre funzioni misurabili a valori reali non negative definite su uno spazio euclideo -dimensionale . Supponiamo che queste funzioni soddisfino

(equazione 1)

per ogni e appartenenti a . Allora

Forma essenziale della disuguaglianza Ricordiamo che l'estremo superiore essenziale di una funzione misurabile è definito da

Questa notazione consente di enunciare la seguente forma essenziale della disuguaglianza di Prékopa-Leindler: sia e siano due funzioni non negative assolutamente integrabili. Sia

Allora è misurabile e

La forma basata sull'estremo superiore essenziale venne presentata da Brascamp e Lieb nel 1976. Il suo utilizzo può cambiare il membro sinistro della disuguaglianza. Per esempio, una funzione che assume il valore 1 esattamente in un punto, di solito, non produrrà un membro sinistro uguale a zero nella forma non basata sull'estremo superiore essenziale, ma produrrà sempre un membro sinistro uguale a zero nella forma basata sull'estremo superiore essenziale.

Relazione con la disuguaglianza di Brunn-Minkowski Si può dimostrare che l'usuale disuguaglianza di Prékopa-Leindler implica la disuguaglianza di Brunn-Minkowski nella forma seguente: se e e sono sottoinsiemi misurabili limitati di tali che la somma di Minkowski è anche misurabile, allora

dove denota la misura di Lebesgue -dimensionale. Quindi, la disuguaglianza di Prékopa-Leindler può anche essere usataGardner, Richard J. (2002). "The Brunn–Minkowski inequality". Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 39 (3): pp. 355–405 (electronic). doi:10.1090/S0273-0979-02-00941-2. ISSN 0273-0979. per dimostrare la disuguaglianza di Brunn-Minkowski nella sua forma più familiare: se e e sono sottoinsiemi misurabili limitati non vuoti di tali che è anche misurabile, allora

Applicazioni in probabilità e statistica La disuguaglianza di Prékopa-Leindler risulta utile nella teoria delle distribuzioni logaritmicamente concave, poiché essa può essere usata per mostrare che la concavità logaritmica è conservata dalla marginalizzazione e dalla somma indipendente di variabili casuali distribuite logaritmicamente concave. Supponiamo che sia una distribuzione logaritmicamente concava per in modo tale che dalla definizione abbiamo

(equazione 2),

mentre denoti la distribuzione marginale ottenuta dall'integrazione su :

Siano dati e Allora l'equazione 2 soddisfa la condizione corrispondente all'equazione 1 con e così si applica la disuguaglianza di Prékopa-Leindler. Ciò può essere scritto in termini di come

che è la definizione di concavità logaritmica per .

Per vedere come questo implichi la conservazione della convessità logaritmica nelle somme indipendenti, supponiamo che e siano variabili casuali indipendenti con distribuzione logaritmicamente concava. Poiché il prodotto di due funzioni logaritmicamente concave è logaritmicamente concavo, la distribuzione congiunta di è anche logaritmicamente concava. La concavità logaritmica è conservata da cambiamenti affini di coordinate, dunque anche la distribuzione di è logaritmicamente concava. Poiché la distribuzione di è marginale sulla distribuzione congiunta di noi concludiamo che ha una distribuzione logaritmicamente concava.

Note

Bibliografia

Prekopa-Leindler Categoria:Teoria della misura Categoria:Geometria integrale Categoria:Analisi matematica