Nella teoria delle probabilità il trasformato secondo Burkholder è un processo stocastico ottenuto a partire da una filtrazione e due processi e , che hanno le seguenti proprietà: è adattato rispetto a è prevedibile rispetto a Per ogni la variabile aleatoria è così definita:
Trasformato di una martingala Si assume per ipotesi che le siano integrabili. Allora valgono i seguenti fatti:
(a) se è una -martingala, allora anche è una -martingala
(b) se è una -submartingala e , allora anche è una -submartingala
Dimostrazione Si ricorda che il processo stocastico è una martingala se soddisfa le seguenti proprietà: è adattato rispetto a tutti gli sono integrabili , ossia la previsione condizionale di sapendo è pari a , per ogni Se il processo è una submartingala il punto (3) deve verificare che
Verifica punto (1) Osservando la formula del trasformato si ricava che: è -misurabile, in quanto il processo è adattato rispetto alla filtrazione è -misurabile, in quanto il processo è prevedibile rispetto alla filtrazione Da ciò ne segue che il prodotto è -misurabile e la somma fino a è -misurabile Il punto (1) è verificato in quanto tutti gli sono -misurabili e ciò implica che tutto il processo è adattato rispetto a .
Verifica punto (2) Il punto (2) è verificato per ipotesi.
Verifica punto (3) Applicando la formula del trasformato si ha che
Dato che è -misurabile può uscire dalla previsione in quanto costante.
Essendo una -martingala si ha che per definizione e quindi anche (punto 3 verificato)
Nel caso in cui sia una submartingala e quindi anche (punto 3 verificato)
Bibliografia
Categoria:Processi stocastici