Con il termine costanti trigonometriche esatte si indicano espressioni riguardanti valori o combinazioni di valori di funzioni trigonometriche costruite a partire da numeri interi con le operazioni razionali e le operazioni di estrazione di radice. Queste espressioni numeriche sono utilizzate principalmente per semplificare le soluzioni di problemi geometrici fornite mediante radicali.
Tutti i valori delle funzioni seno, coseno e tangente di angoli multipli di 3° sono ottenibili servendosi delle identità di bisezione, duplicazione, addizione/sottrazione e dei valori corrispondenti agli angoli di 0°, 30°, 36° e 45°. Si ricorda che 1° = π/180 radianti.
Tavola delle espressioni
I valori relativi ad angoli non contenuti nell'intervallo si possono ricavare da quelli qui forniti mediante semplici osservazioni sulla circonferenza di raggio 1 e sugli effetti di opportune rotazioni e riflessioni.
0° - valori fondamentali
3° - Esacontagono (60 lati)
6° - Triacontagono (30 lati)
9° - Icosagono (20 lati)
12° - Pentadecagono (15 lati)
15° - Dodecagono (12 lati)
18° - Decagono (10 lati)
21° = 9° + 12°
22,5° - Ottagono (8 lati)
24° = 12° + 12°
27° = 12° + 15°
30° - Esagono (6 lati)
33° = 15° + 18°
36° - Pentagono (5 lati)
39° = 18° + 21°
42° = 21° + 21°
45° - Quadrato (4 lati)
Uso delle costanti Una grandezza come il volume di un dodecaedro è data dalla seguente espressione:
Usando
l'espressione precedente può essere semplificata nella:
Dimostrazioni delle espressioni mediante triangoli La derivazione dei valori particolari delle funzioni seno, coseno e tangente nella forma radiale è basata sulla costruibilità di triangoli rettangoli che conviene individuare come sezioni simmetriche di poligoni regolari. Ciascuno dei triangoli rettangoli considerati ha come vertici 3 punti di un poligono regolare: un suo vertice il punto medio di un lato che ha come estremo e il centro del poligono. Per si considera un -agono regolare suddiviso in triangoli rettangoli aventi angoli di (vertice ), (vertice ) e (vertice ).
Ci si basa sulla costruibilità con riga e compasso di poligoni a 3, 4, 5, e 15 lati e si utilizzano le bisettrici per ricavare anche i multipli di 2.
Costruibili Poligoni regolari con lati, 30°-60°-90° triangolo - triangolo (3 lati) 60°-30°-90° triangolo - esagono (6 lati) 75°-15°-90° triangolo - dodecagono (12 lati) 82,5°-7,5°-90° triangolo - tetracosagono (24 lati) 86,25°-3,75°-90° triangolo - ottatetracontagono (48 lati) ... Poligoni regolari con lati 45°-45°-90° triangolo - quadrato (4 lati) 67,5°-22,5°-90° triangolo - ottagono (8 lati) 88,75°-11,25°-90° triangolo - esadecagono (16 lati) ... Poligoni regolari con lati 54°-36°-90° triangolo - pentagono (5 lati) 72°-18°-90° triangolo - decagono (10 lati) 81°-9°-90° triangolo - icosagono (20 lati) 85,5°-4,5°-90° triangolo - tetracontagono (40 lati) 87,75°-2,25°-90° triangolo - ottacontagono (80 lati) ... Poligoni regolari con lati 78°-12°-90° triangolo - pentadecagono (15 lati) 84°-6°-90° triangolo - triacontagono (30 lati) 87°-3°-90° triangolo - esacontagono (60 lati) 88,5°-1,5°-90° triangolo - ettoicosagono (120 lati) 89,25°-0,75°-90° triangolo - diettotetracontagono (240 lati) ... (Poligoni regolari di grado superiore costruibili non possono essere fatte per angoli di grado intero: 17, 51, 85, 255, 257...) Non costruibili (con angoli di grado intero o di mezzo grado) - Le forme radiali non limitate per queste proporzioni di taglio del triangolo sono note. Poligoni regolari con lati 70°-20°-90° triangolo - ennagono (9 lati) 80°-10°-90° triangolo - ottadecagono (18 lati) 85°-5°-90° triangolo - esatriacontagono (36 lati) 87,5°-2,5°-90° triangolo - doeptacontagono (72 lati) ... Poligoni regolari con lati 86°-4°-90° triangolo - pentatetracontagono (45 lati) 88°-2°-90° triangolo - ennacontagono (90 lati) 89°-1°-90° triangolo - ettaottacontagono (180 lati) 89,5°-0,5°-90° triangolo - triettoesacontagono (360 lati) ...
Espressioni non singole La semplificazione di un radicale doppio non è banale e non sempre può essere effettuata.
Esempio:
Non è così evidente che questa uguaglianza sia vera ed in generale i radicali doppi non possono essere ridotti. Però si ha
è un quadrato perfetto.
Voci correlate
Glossario di trigonometria Funzioni trigonometriche Identità trigonometriche Poligono Triacontagono Icosagono Pentadecagono Dodecagono Decagono
Collegamenti esterni
Categoria:Trigonometria Categoria:Aritmetica