In elettrodinamica quantistica, la formula di Klein-Nishina fornisce la sezione d'urto differenziale della diffusione di un fotone da un elettrone libero (scattering Compton) al più basso ordine di approssimazione () in termini della costante di struttura fine. Nel limite di bassa frequenza, si ritrova la sezione d'urto dello scattering Thomson.
Tale sezione d'urto vale
dove è la frequenza del fotone incidente, quella di quello emesso e la costante di struttura fine
Il valore di si ricava dalla cinematica dello scattering Compton e vale
Derivazione Consideriamo il processo di diffusione di un fotone da parte di un elettrone inizialmente fermo. Al primo ordine di approssimazione, il processo è descritto dai diagrammi di Feynman
Dalle regole di Feynman dell'elettrodinamica quantistica, considerando: un fotone entrante di quadrimomento , polarizzazione un elettrone fermo nello stato iniziale di quadrimomento , spin un fotone uscente di quadrimomento , polarizzazione un elettrone uscente di quadrimomento , spin il propagatore fermionico
e il processo analogo in cui si scambia il momento del fotone incidente
tenendo conto della cinematica per cui e
si ottiene l'elemento di matrice
Sfruttando le proprietà dei polarizzatori, per cui se non ha componente spaziale mentre sulle polarizzazioni fisiche, si può semplificare quest'espressione fino ad ottenere
dove
Per il calcolo della sezione d'urto è quindi necessario calcolare il quadrato dell'elemento di matrice mediato sulle polarizzazioni e sugli spin. Si otterrà quindi
Sfruttando la relazione
abbiamo
Ora,
Rimane da svolgere la media sulle polarizzazioni. Per farlo è necessario sfruttare l'uguaglianza
da cui, tenendo conto che dalla cinematica abbiamo
e quindi ()
otteniamo infine
La sezione d'urto si ricava applicando la formula generale
Ora, mentre, eliminando l'integrazione in attraverso la delta di Dirac e scomponendo quella in nella parte radiale e angolare otteniamo finalmente
e quindi, essendo il che risolve l'equazione nella delta di Dirac quello corrispondente alla conservazione dell'energia, ovvero
si trova, effettuando le opportune sostituzioni, la formula di Klein-Nishina.
Limite di bassa frequenza Per fotoni di bassa frequenza, ovvero nel limite non relativistico, abbiamo e quindi . In questo caso la formula di Klein-Nishina diventa
dove è la lunghezza Compton dell'elettrone.
Note
Bibliografia
Voci correlate Scattering Compton Scattering Thomson
Categoria:Scattering Categoria:Elettrodinamica quantistica