In matematica la disuguaglianza di Hölder è un risultato basilare di analisi funzionale. Essa si è impiegata spesso nello studio degli spazi di funzioni noti come spazi Lp.
La disuguaglianza fu provata in una forma leggermente diversa da Leonard James Rogers nel 1888, e riscoperta indipendentemente da Otto Hölder nel 1889, dal quale prende il nome.
La disuguaglianza Sia uno spazio di misura con misura e . Sia l'esponente coniugato di , ovvero quel numero tale che
o equivalentemente tale che
Si definisce inoltre se .
La disuguaglianza afferma che, date due funzioni misurabili e , si ha che e:.
Esplicitando la norma p-esima nel caso si ottiene la scrittura
La disuguaglianza coincide con la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per . Il numero è anche detto coniugato di Hölder di .
Si dimostra che la disuguaglianza diviene un'uguaglianza se e solo se esistono due costanti e , non entrambe nulle, tali che:
quasi ovunque in .
Dimostrazione Se uno dei due fattori del secondo membro (ad esempio ) è zero, allora vuol dire che quasi ovunque; dunque anche quasi ovunque e quindi e il risultato vale con il segno di uguaglianza. Se uno dei due indici (ad esempio ) è , allora è e:
quindi il risultato viene per monotonia dell'integrale di Lebesgue.
Altrimenti, per la disuguaglianza di Young vale che:
per quasi ogni . Integrando entrambi i membri si ottiene:
Disuguaglianza di Hölder per numeri reali Nel caso molto particolare dello spazio euclideo , la disuguaglianza prende la seguente forma:
Dimostrazione alternativa Posti:
e:
la disuguaglianza è:
Dalla concavità della funzione logaritmo si ha:
quindi per monotonia:
Sommando sull'indice poiché e , si ottiene la tesi.
Generalizzazione Si può generalizzare il risultato con una tecnica dimostrativa simile, prendendo un numero finito qualsiasi di fattori, con indici opportuni: siano tali che , con:
Allora:
e si ha:
Generalizzazione nei numeri reali Siano m n-uple di numeri reali e siano dei reali tali che:
Allora:
Una conseguenza importante di questa generalizzazione porta ad un primo risultato di immersione tra spazi , la disuguaglianza di interpolazione. Se:
allora per ogni e:
con tale che:
Note
Bibliografia
Brezis, Analisi funzionale. Teoria e applicazioni, Liguori Editore, 2006, ISBN 978-88-207-1501-4.
Voci correlate Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz Disuguaglianza di Young Disuguaglianza di Minkowski Disuguaglianza triangolare Spazio Lp
Collegamenti esterni
Hölder Categoria:Analisi funzionale